2023-2024学年浙江省杭州市养正中学九年级（上）月考数学试卷（一）
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（3分）“某彩票的中奖率是1%”，下列对这句话的理解，说法一定正确的是（ ）
A．买1张彩票肯定不会中奖
B．买100张彩票肯定会中1张奖
C．买1张彩票也可能会中奖
D．一次买下所有彩票的一半，肯定1%张彩票中奖
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2﹣3
4．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5）
B．该函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标为（3，﹣5）
6．（3分）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD AB；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2﹣2x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为一边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积．则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
9．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2的图象经过第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜2 B．m≤1 C．m≥0 D．1≤m＜2
10．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点G作GD的垂线交AB于点I，若GI＝GD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 ．
12．（4分）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个，黑球5个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝ ．
13．（4分）如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为 ．
14．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝ ．
15．（4分）如图，若点D为等边△ABC的边BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且∠EDF＝90°，当BE＝2，CF＝1时，EF的长度为 ．
16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
当时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
18．（6分）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．
19．（6分）△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM．
求证：（1）△ABC∽△MEC；
（2）AM2＝MD ME．
20．（8分）已知抛物线经过点（2，﹣3），它的对称轴为直线x＝1，且函数有最小值为﹣4．抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式及△ABC的面积．
（2）在第四象限的抛物线上找一点P，使△BCP的面积为△ABC的一半，求出此时点P的横坐标．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，S△ABC＝1，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．
（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；
（2）已知BC＝2，设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式，y在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若抛物线经过点P（1，0），求抛物线的顶点坐标；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值．
（2）若a+b＜0，第一象限有一点D（2，n）在该二次函数图象上，求证：a＞1．
23．（10分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
请同学们根据上述材料，完成下列任务：
任务一：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
任务二：
（1）小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，图③是该方案的示意图．其中线段AB表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些？
（2）请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项．
24．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，AD＝9，求CE的长．
【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．
参考答案与解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵2a＝5b，
∴＝，＝．
故选：C．
2．（3分）“某彩票的中奖率是1%”，下列对这句话的理解，说法一定正确的是（ ）
A．买1张彩票肯定不会中奖
B．买100张彩票肯定会中1张奖
C．买1张彩票也可能会中奖
D．一次买下所有彩票的一半，肯定1%张彩票中奖
【解答】解：中奖率是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生．
故选：C．
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2﹣3
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为y＝2（x+1）2+3，
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，A正确；
∵DE∥BC，
∴＝，B错误；
∵DE∥BC，
∴＝，C错误；
∵DE∥BC，
∴＝，D错误，
故选：A．
5．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5）
B．该函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标为（3，﹣5）
【解答】解：令x＝0，则y＝2（0﹣3）2﹣5＝13，
∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，13），
∴A错误，不符合题意；
∵y＝2（x﹣3）2﹣5，
∴a＝2＞0，开口向上，顶点（3，﹣5），对称轴是直线x＝3，
当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD AB；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：若∠ACB＝∠B，且∠A＝∠A，可证△ABC∽△ACD，
若AC2＝AD AB，且∠A＝∠A，可证△ABC∽△ACD，
若，且∠A＝∠A，不能证△ABC∽△ACD，
若∠B＝∠ACB，且∠A＝∠A，不能证△ABC∽△ACD，
故选：B．
7．（3分）反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2﹣2x的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴二次函数y＝kx2﹣2x的图象开口向下，
对称轴＝﹣＝，
∵k＜0，
∴＜0，
∴对称轴在x轴的负半轴，
故选：A．
8．（3分）如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为一边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积．则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【解答】解：S1＝S2．
理由如下：
∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2＝PB AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
9．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2的图象经过第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜2 B．m≤1 C．m≥0 D．1≤m＜2
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2＝（x﹣m）2+m﹣2，
∴顶点坐标为（m，m﹣2），且开口向上，
当抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2的图象顶点在第三象限，与y轴的交点在y轴的负半轴上时抛物线一定经过第四象限，
∴，
解得：﹣2＜m＜0；
当抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2的图象顶点在第四象限或y轴负半轴时，抛物线一定经过第四象限，
∴，
解得：0≤m＜2；
综上所述，m的取值范围是：﹣2＜m＜2．
故选：A．
10．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点G作GD的垂线交AB于点I，若GI＝GD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点I作IN⊥BG于N，
设AF＝BG＝DE＝CH＝a，DH＝BF＝AE＝CG＝b，
则HG＝EH＝a﹣b，
∵∠FGH＝∠IGD＝90°，
∴∠DGH＝∠IGF，
又∵∠ING＝∠GHD＝90°，
∴△DHG∽△ING，
∴，
∵GI＝GD，
∴IN＝DH＝b，GN＝GH＝（a﹣b），
∴BN＝a﹣（a﹣b）＝b﹣a，
∵∠ABF＝∠IBN，∠AFB＝∠INB＝90°，
∴△AFB∽△INB，
∴，
∴，
∴a＝2b，
∴EH＝a﹣b＝2b﹣b＝b，
∵AD＝，
∴＝，
故选：C．
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 5 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3＝（x﹣a）2+b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故答案为：5．
12．（4分）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个，黑球5个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝ 6 ．
【解答】解：由题意知，＝，
解得n＝6，
故答案为：6．
13．（4分）如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为 1： ．
【解答】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为x，
∵小矩形与原矩形相似，
∴＝，
∴y：x＝1：．
故答案为：1：．
14．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝ 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为（1，m﹣1），
∴顶点（1，m﹣1）位于x轴上．
∴m﹣1＝0．
解得m＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，若点D为等边△ABC的边BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且∠EDF＝90°，当BE＝2，CF＝1时，EF的长度为 ．
【解答】解：作EM⊥BC于点M，作FN⊥BC于点N，
则∠EMB＝∠EMD＝90°，∠FNC＝∠FND＝90°，
∵△ABC是等边三角形，BE＝2，CF＝1，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴BM＝1，EM＝，CN＝，FN＝，
∵∠EDF＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠EDM+∠FDN＝90°，
∴∠DEM＝∠FDN，
∴△EDM∽△DFN，
，
∵点D为BC的中点，
设BD＝a，则DM＝a﹣1，DN＝a﹣，
∴，
解得，a1＝（舍去），a2＝2，
∴DM＝1，DN＝，
∵∠EMD＝90°，∠FND＝90°，
∴DE＝＝2，DF＝＝，
又∵∠EDF＝90°，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．
16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
当时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ①② ．
【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①结论符合题意；
∵x＝﹣2时，y＝t，
∴﹣2是关于x的方程ax2+bx+c＝t的根．
∵对称轴为直线，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．②结论符合题意；
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴；故③错误，
故答案为：①②．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，杭州市某食品厂抽样调查了某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）根据题中信息补全条形统计图，并求出喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四种不同口味的粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法，求出小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）调查的市民人数为：240÷40%＝600（人），
∴喜欢B种口味粽子的人数为：600×10%＝60（人），
∴喜欢C种口味粽子的人数为：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
补全条形统计图如下：
喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果有3种，
∴小李第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率为＝．
18．（6分）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．
【解答】解：（1）如图2所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为2；
（2）如图3所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为．
19．（6分）△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM．
求证：（1）△ABC∽△MEC；
（2）AM2＝MD ME．
【解答】证明：（1）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠BAC＝∠EMC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△MEC；
（2）∵∠BAC是直角，ME⊥BC，
∴∠C+∠E＝∠C+∠B，
∴∠E＝∠B，
∵点M为直角△ABC斜边的中点，
∴MA＝MB，∠MAD＝∠B；
而∠AMD＝∠EMA，
∴△MAD∽△MEA．
∴，
∴AM2＝MD ME．
20．（8分）已知抛物线经过点（2，﹣3），它的对称轴为直线x＝1，且函数有最小值为﹣4．抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的解析式及△ABC的面积．
（2）在第四象限的抛物线上找一点P，使△BCP的面积为△ABC的一半，求出此时点P的横坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（2，﹣3）代入上式得：﹣3＝a﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4①；
令x＝0，y＝﹣3，
令y＝0，即0＝（x﹣1）2﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴△ABC的面积为：×4×3＝6；
（2）对于y＝（x﹣1）2﹣4，
令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3），
设直线BC的表达式为：y＝mx+t，
则，
解得：，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3，
分别过点A、P作BC的平行线m，n分别交y轴于点M、N，
∵△BCP的面积为△ABC的一半，故MC＝2NC，
由直线BC的表达式知，直线BC和x轴的夹角为45°，则直线m、n和x轴的夹角均为45°，
则AO＝MO＝1，而OC＝3，
故CN＝MC＝（1+3）＝2，
则点N（0，﹣5），
则直线n的表达式为：y＝x﹣5②，
联立①②并解得：或，
即点P的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，S△ABC＝1，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．
（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；
（2）已知BC＝2，设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式，y在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．
【解答】解：（1）∵四边形AFPE为矩形，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BAC，
∴．
∵BP：PC＝2：3，
∴BP：BC＝2：5，
∴，
∵S△ABC＝1，
∴S△BPF＝1＝；
（2）∵四边形AFPE为矩形，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BAC，
∴．
∵BC＝2，BP＝x，
∴＝，
∵S△ABC＝1，
∴S△BPF＝．
同理：S△CPE＝，
∴矩形AFPE的面积为y＝S△ABC﹣S△BPF﹣S△CPE
＝1﹣
＝﹣+x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣+x，
y＝﹣（x﹣1）2+，
∵＜0，
∴当x＝1时，y的最大值是．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若抛物线经过点P（1，0），求抛物线的顶点坐标；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值．
（2）若a+b＜0，第一象限有一点D（2，n）在该二次函数图象上，求证：a＞1．
【解答】（1）解：①当b＝﹣2a时，则y＝ax2﹣2ax﹣2，
若抛物线经过点P（1，0），则a﹣2a﹣2＝0，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+4x﹣2，
∵y＝﹣2x2+4x﹣2＝﹣2（x﹣1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）；
②∵b＝﹣2a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，
∵A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，
∴x1+x2＝2，
∵s＝x1+x2，
∴s＝2，
∴t＝4a﹣4a﹣2＝﹣2；
（2）证明：由题意，x＝2时，y＞0，
∴4a+2b﹣2＞0，
∴2a+b＞1，
∵a+b＜0，
∴b＜﹣a，
∴2a﹣a＞1，即a＞1．
23．（10分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
请同学们根据上述材料，完成下列任务：
任务一：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
任务二：
（1）小宇选择的测量工具是镜子和皮尺，图③是该方案的示意图．其中线段AB表示学校旗杆，请写出需要测量的线段有哪些？
（2）请写出一条利用小宇设计的方案进行测量时的注意事项．
【解答】解：任务一：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴△CEQ∽△CAH，
∴，即：，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴，即：，
解得：AB＝12.9m；
任务二：（1）由题意得：△CDE∽△ABE，
∴，
∴AB＝，
∴需要测量CD，BE，DE的长度．
（2）测量时的注意：多测两次，取其平均数，减小误差．
24．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝6，AD＝9，求CE的长．
【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴＝，
∴AC2＝AD AB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝9，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C．
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF．
∴＝，
∴BF2＝BE BC，
即62＝9BE，
∴BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣4＝5，即CE的长为5；
（3）解：如图，延长EF与DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠DAC＝∠BAD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠BAD，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，∠DCA＝∠G，
∴EG＝AC＝2EF，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
设EF＝x，则EG＝2x，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠EDF，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴＝＝，
∴ED2＝EF EG＝x 2x＝2x2，
∴ED＝x（负值已舍去），
∴＝＝，
设CG＝AE＝k，则DF＝2k，DG＝CD+k，
∴＝，
解得：CD＝3k，
∵AB∥CD，
∴△AEM∽△CDM，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DMN，
∴＝＝，
∴EF＝MN＝×18＝24，
即EF的值为24．
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