2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）点P（2，﹣3）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x C． D．
3．（3分）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝91°，∠2＝50° B．∠1＝89°，∠2＝1°
C．∠1＝120°，∠2＝40° D．∠1＝102°，∠2＝2°
4．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．a﹣2＜b﹣2
5．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE与CD相交于点N．若△ABE≌△ACD，且∠A＝65°，∠C＝25°，则∠AEB的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
6．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m
7．（3分）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠C＝∠EAC C．∠DAE＝∠EAC D．AE∥BC
8．（3分）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式8（x+5）＞12x．则横线上的条件应该是（ ）
A．每人分8本，则剩余 5本
B．每人分8本，则恰好可多分给5个人
C．每人分5本，则剩余 8本
D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ．
12．（4分）如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为（5，0°），（4，300°），则点C的坐标表示为 ．
13．（4分）已知点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＞”，“＝”“＜”）．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝3，则S△ABE的值是 ．
15．（4分）如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为 ．
16．（4分）如果关于x的不等式组：的整数解仅有0，1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个．
三、解答题（本大题共7个小题，第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
18．（6分）解不等式（组）：
（1）7x﹣2≥5x+2；
（2）．
19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：OF＝OE．
20．（8分）已知平面直角坐标系中一点P（m﹣4，2m+1）．
（1）当点P在y轴上时，求出m的值；
（2）当PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣3），求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出点P的坐标．
21．（8分）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）若将△ABC的腰不变，底变为12，请你判断这两个等腰三角形面积是否相等，并说明理由；
（2）已知△ABC底边上高增加x，腰长增加（x﹣2）时，底却保持不变，求此时x的值．
22．（10分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．
（1）若此一次函数的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点；
①求该一次函数的表达式；
②当﹣1＜x≤2时，求y的取值范围；
（2）若k+b＜0，点M（4，q）（q＞3）在该一次函数图象上，求k的取值范围．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
任务1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图（平放在地面）．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线，∠DEF和∠HFE都是直角．小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
任务2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形EFHD和等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接，不考虑厚度），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
（1）求出点A到BC的距离．
（2）小聪说：“如果我设计的方案中CB＝CD，那么最高点B到地面的距离与DE相等”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
（3）小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
24．（12分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．
如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【猜想结论】
（1）当点E为AB的中点时，如图2，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【类比探究】
（2）如图1，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程．
【拓展应用】
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若等边三角形ABC的边长为2，AE＝3，求CD的长（请自己画图，并完成解答）．
参考答案与解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）点P（2，﹣3）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）所在象限为第四象限．
故选：D．
2．（3分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝2x C． D．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝2k，解得k＝﹣，
∴这个正比例函数的表达式是y＝﹣x．
故选：C．
3．（3分）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝91°，∠2＝50° B．∠1＝89°，∠2＝1°
C．∠1＝120°，∠2＝40° D．∠1＝102°，∠2＝2°
【解答】解：A、91°﹣50°＝41°是锐角，不符合题意；
B、89°与1°是两个锐角，不符合题意；
C、120°﹣40°＝80°是锐角，不符合题意；
D、102°﹣2°＝100°是钝角，符合题意．
故选：D．
4．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．a﹣2＜b﹣2
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，故A不符合题意；
∵a＞b，
，故B符合题意；
当c＝0时，ac2＝bc2，故C不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，故D不符合题意，
故选：B．
5．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE与CD相交于点N．若△ABE≌△ACD，且∠A＝65°，∠C＝25°，则∠AEB的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【解答】解：∵∠A＝65°，∠C＝25°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
故选：B．
6．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m
【解答】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以传播354m，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAE＝∠B B．∠C＝∠EAC C．∠DAE＝∠EAC D．AE∥BC
【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故D选项正确，
∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，而∠C与∠B大小关系不确定，
∴∠DAE与∠EAC大小关系不确定，故C选项错误，
故选：C．
8．（3分）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式8（x+5）＞12x．则横线上的条件应该是（ ）
A．每人分8本，则剩余 5本
B．每人分8本，则恰好可多分给5个人
C．每人分5本，则剩余 8本
D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本
【解答】解：由不等式8（x+5）＞12x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分8本，则恰好可多分给5个人，若每人分12本，则有剩余．
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：A．
10．（3分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 三角形具有稳定性 ．
【解答】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．（4分）如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为（5，0°），（4，300°），则点C的坐标表示为 （2，240°） ．
【解答】解：如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．
故答案为：（2，240°）．
13．（4分）已知点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 ＞ y2（填“＞”，“＝”“＜”）．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A（m﹣1，y1），B（m，y2）是一次函数y＝﹣2x+1的图象上的两个点，m﹣1＜m，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝3，则S△ABE的值是 9 ．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝3，
∴AE＝BE＝2AC＝6，
∴S△ABE＝BE AC＝×6×3＝9，
故答案为：9．
15．（4分）如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为 （﹣1，0） ．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣2，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣2，2），D′（0，﹣2），
∴，解得，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣2x﹣2．
令y＝0，则0＝﹣2x﹣2，解得：x＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
16．（4分）如果关于x的不等式组：的整数解仅有0，1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 12 个．
【解答】解：解不等式组：得：≤x＜，
∵整数解仅有0，1，2，
∴﹣1＜≤0，2＜≤3，
∴a＝﹣2，﹣1，0，b＝9，10，11，12．
则整数a，b组成的有序数对（a，b）共有12个．
故答案为：12．
三、解答题（本大题共7个小题，第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 （﹣4，2） ；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
【解答】解：（1）A（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
18．（6分）解不等式（组）：
（1）7x﹣2≥5x+2；
（2）．
【解答】解：（1）7x﹣2≥5x+2，
7x﹣5x≥4，
2x≥4，
所以x≥2；
（2），
解不等①得x＞1，
解不等②得x＜3，
所以不等式组的解集为1＜x＜3．
19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：OF＝OE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∴△OEF是等腰三角形．
∴OE＝OF．
20．（8分）已知平面直角坐标系中一点P（m﹣4，2m+1）．
（1）当点P在y轴上时，求出m的值；
（2）当PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣3），求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）因为点P在y轴上，
所以m﹣4＝0，
解得m＝4．
（2）因为PA平行于x轴，
所以直线AP上所有点的纵坐标相等．
又因为点A的坐标为（﹣4，﹣3），
所以2m+1＝﹣3，
解得m＝﹣2，
则m﹣4＝﹣2﹣4＝﹣6，
所以点P的坐标为（﹣6，﹣3）．
（3）因为点P到两坐标轴的距离相等，
所以m﹣4＝2m+1或m﹣4+2m+1＝0．
当m﹣4＝2m+1时，
解得m＝﹣5，
所以m﹣4＝2m+1＝﹣9．
此时点P的坐标为（﹣9，﹣9）．
当m﹣4+2m+1＝0时，
解得m＝1，
所以m﹣4＝﹣3，2m+1＝3．
此时点P的坐标为（﹣3，3）．
综上所述，点P的坐标为（﹣9，﹣9）或（﹣3，3）．
21．（8分）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）若将△ABC的腰不变，底变为12，请你判断这两个等腰三角形面积是否相等，并说明理由；
（2）已知△ABC底边上高增加x，腰长增加（x﹣2）时，底却保持不变，求此时x的值．
【解答】解：（1）相等，过点A作AD⊥BC，如图：
∵AB＝AC＝10，BC＝16．
∴BD＝CD＝8，
∴AD＝＝6，
∴S△ABC＝×16×6＝48，
过点A'作A'D'⊥B'C'，如图：
∵A'B'＝A'C'＝10，B'C'＝12．
∴B'D'＝C'D'＝6，
∴A'D'＝＝8，
∴S△A'B'C'＝＝48，
∴这两个等腰三角形面积相等；
（2）∵△ABC底边上高增加x，腰长增加（x﹣2）时，底却保持不变，
∴（10+x﹣2）2＝（6+x）2+82，
解得x＝9．
22．（10分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．
（1）若此一次函数的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点；
①求该一次函数的表达式；
②当﹣1＜x≤2时，求y的取值范围；
（2）若k+b＜0，点M（4，q）（q＞3）在该一次函数图象上，求k的取值范围．
【解答】解：（1）①将A（1，1），B（2，﹣1）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+3；
②当x＝﹣1时，y＝﹣2x+3＝﹣2×（﹣1）+3＝5，
当x＝2时，y＝﹣2x+3＝﹣2×2+3＝﹣1，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当﹣1＜x≤2时，y的取值范围为：﹣1≤y＜5；
（2）∵点M（4，q）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴q＝4k+b，
∵q＞3，
∴4k+b＞3，
∴3k+k+b＞3，
∵k+b＜0，
∴3k＞3，
∴k＞1．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
任务1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图（平放在地面）．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线，∠DEF和∠HFE都是直角．小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH＝0.8米，DE＝1.5米．
任务2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形EFHD和等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接，不考虑厚度），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
（1）求出点A到BC的距离．
（2）小聪说：“如果我设计的方案中CB＝CD，那么最高点B到地面的距离与DE相等”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
（3）小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
【解答】解：（1）如图2，过点A作AM⊥BC于点M，交DH于点N，
则AN⊥DH，AN＝2.7米，MN＝DE＝1.5米，
∴AM＝AN﹣MN＝2.7﹣1.5＝1.2（米），
即点A到BC的距离为1.2米；
（2）小聪的说法对，理由如下：
如图2﹣1，过点B作BG⊥DC于点G，
则∠BGC＝90°，
∵四边形EFHD是长方形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BGC＝∠DEC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（AAS），
∴BG＝DE，
即最高点B到地面的距离与DE相等；
（3）∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴BF＝CE，EF＝DH＝0.8米，S长方形EFHD＝DE DH＝1.5×0.8＝1.2（平方米），
设BF＝CE＝x米，则BC＝（2x+0.8）米，
由（1）可知，AM＝1.2米，
∴S△ABC＝BC AM＝×（2x+0.8）×1.2＝（1.2x+0.48）（平方米），
由题意得：85×1.2+100（1.2x+0.48）≤180，
解得：x≤0.25，
答：CE长度的最大值为0.25米．
24．（12分）数学课上，老师出示了如下框中的题目．
如图1，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【猜想结论】
（1）当点E为AB的中点时，如图2，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【类比探究】
（2）如图1，当点E为AB边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成证明过程．
【拓展应用】
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若等边三角形ABC的边长为2，AE＝3，求CD的长（请自己画图，并完成解答）．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD＝30°，
∵∠EBC＝∠D+∠BED，
∴∠D＝∠BED＝30°，
∴DB＝BE＝AE，
故答案为：＝；
（2）证明：如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
则∠CEF＝∠ECD，∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A，∠EFC＝120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠D，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝120°＝∠EFC，
∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴BD＝FE，
∴AE＝DB；
（3）解：分两种情况：
①如图3，当E在BA的延长线上时，过点E作EF∥AC交BD的延长线于点F，
同（2）得：△EBD≌△EFC（AAS），
∴BD＝CF＝AE＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝3﹣2＝1；
②如图4，当E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F，
同（2）得：△EBD≌△CFE（AAS），
∴BD＝EF＝AE＝3
∴CD＝BD+BC＝3+2＝5；
综上所述，CD的长为1或5．
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