2023-2024学年浙江省杭州市下城区杭州观成实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，则下列对系数a，b，c的判断一定正确的是（ ）
A．a＝0 B．b＝0 C．c＝0 D．b2﹣4ac＝0
3．（3分）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图，点C在上，若∠OAB＝20°，则∠ACB＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，3） D．（﹣1，2）
6．（3分）如图，已知∠ACB＝∠D＝90°，下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是（ ）
A．AB∥CD B．BC平分∠ABD
C．∠ABD＝90° D．AB：BC＝BD：CD
7．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
9．（3分）已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
10．（3分）在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连接AD，BE，交于点F．设x＝CD：BD，y＝AF：FD，则（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为 ，则∠BDC的度数为 ．
12．（3分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．则点C到AB的距离＝ 米；线段AD的长度为 米．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB＝2：5，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为 ；若S四边形DBCE＝84，则S△ADE＝ ．
14．（3分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为 元时，宾馆利润最大，最大利润是 元．
15．（3分）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，ED＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．若AC＝6，半径OB＝5，则CE的长为 ；BD的长为 ．
16．（3分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．
①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为： ；
②m＝ （用含S1，S3的代数式表示m）．
三、解答题（第17题4分，18、19题各6分，第20、21、题各8分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共66分）
17．（8分）计算求值：
（1）已知，求的值；
（2）2sin30°﹣tan60° cos30°．
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
19．（8分）如图，正方形ABCD中，AB＝9，E为BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）当BE＝3时，求tan∠EAF的值．
20．（8分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝612m．
（1）已知BE⊥CD与CD交于点E，求BE的长度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92）；
（2）求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
21．（8分）如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：AD平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
22．（10分）已知二次函数y＝x2+ax+a（a为常数，a≠0）．
（1）若函数经过点（﹣2，5），求二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）当0＜a＜4时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，其中x1＜x2，当x1+x2＞4时，都有y1＜y2，求a的取值范围．
23．（12分）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝2OE；
（2）若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；
（3）如图2，若AE＝1，设tan∠CAE＝x，．
①用含有x的代数式表示OB的长；
②求y关于x的函数关系式．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高CF为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP（OP⊥CD），从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件：①不能碰到图2中的水柱；②落水点G，M的间距为GM＝0.4m；③水柱的最高点与点P的高度差为0.8m；④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝8，
∴cosB＝＝＝．
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，则下列对系数a，b，c的判断一定正确的是（ ）
A．a＝0 B．b＝0 C．c＝0 D．b2﹣4ac＝0
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过坐标原点，
∴将（0，0）代入，
c＝0，
∴c＝0且a≠0．
故选：C．
3．（3分）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，
∴OA＞3．
故选：D．
4．（3分）如图，点C在上，若∠OAB＝20°，则∠ACB＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：D．
5．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，3） D．（﹣1，2）
【解答】解：分别将（﹣4，n）和（2，n）两点代入y＝﹣x2+bx+3中，
，
解得：b＝﹣2，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
顶点坐标的横坐标x＝﹣＝﹣1，
顶点坐标的纵坐标y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4．
故选：A．
6．（3分）如图，已知∠ACB＝∠D＝90°，下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是（ ）
A．AB∥CD B．BC平分∠ABD
C．∠ABD＝90° D．AB：BC＝BD：CD
【解答】解：在△BCD和△BAC中，∠ACB＝∠D，
A、∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠ACB＝∠D，
∴△ABC和△BCD相似，故本选项不符合题意；
B、∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠D，
∴△ABC和△BCD相似，故本选项不符合题意；
C、∵∠ABD＝90°，∠D＝90°，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°﹣∠CBD，
∵∠ACB＝∠D，
∴△ABC和△BCD相似，故本选项不符合题意；
D、根据AB：BC＝BD：CD和∠ACD＝∠D不能推出△ABC和△BCD相似，故本选项符合题意；
故选：D．
7．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AE＝2AM＝．
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【解答】解：连接OD，如图，
∵BD垂直平分半径OC，
∴DO＝DC，
∵OD＝OC，
∴OD＝OC＝DC，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CBD＝∠COD＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°+30°＝75°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
9．（3分）已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，
点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；
点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；
点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；
故y1＜y3＜y2，
故选：B．
10．（3分）在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AC＝2EC，连接AD，BE，交于点F．设x＝CD：BD，y＝AF：FD，则（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝
【解答】解：如图，过D作DG∥AC交BE于G，
∴△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，
∴，，
∵AC＝2EC，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∵x＝CD：BD，y＝AF：FD，
∴1+x＝y，
∴y＝x+1，
故选：A．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为 35° ，则∠BDC的度数为 145° ．
【解答】解：∵∠BOC＝70°，
∴∠BAC＝∠BOC＝35°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝145°．
故答案为：35°；145°．
12．（3分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．则点C到AB的距离＝ 15 米；线段AD的长度为 15 米．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30（米），
∴CE＝BC＝15 （米），
∴点C到AB的距离是15米；
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝AC，
∴AC＝2CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得，AD＝＝＝15（米），
∴线段AD的长度是15米．
故答案为：15；15．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB＝2：5，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为 15 ；若S四边形DBCE＝84，则S△ADE＝ 16 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝2：5，
∴△ADE的周长与△ABC的周长之比＝2：5，
∵△ADE的周长为6，
∴△ABC的周长＝6＝15，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比＝4：25，
设△ADE的面积为S，
∵S四边形DBCE＝84，
∴S△ABC＝S四边形DBCE+S△ADE＝84+S，
∴，
解得：S＝16，
经检验S＝16是原方程的解．
故答案为：15；16．
14．（3分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为 360 元时，宾馆利润最大，最大利润是 10240 元．
【解答】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
15．（3分）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，ED＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．若AC＝6，半径OB＝5，则CE的长为 4 ；BD的长为 2 ．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
又∵ED＝BD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴AB＝AE，
∵OB＝5，
∴AB＝AE＝10，
∵AC＝6，
∴CE＝AE﹣AC＝4；
连接BC，则∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，
∴BD＝BE＝2．
故答案为：4；2．
16．（3分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．
①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为： S2＝（S1+S3） ；
②m＝ ． （用含S1，S3的代数式表示m）．
【解答】解：①观察图象（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，
∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，
∴2S2＝S1+S3，
∴S2＝（S1+S3），
故答案为：S2＝（S1+S3）．
②∵HE⊥EF，AK⊥HE，
∴AK∥EF，
同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，
∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，
∴MN∥GF∥EH，
∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，
∴△MLK∽△KEH，
∴＝＝，
设AE＝x，AH＝y，
则：＝＝，
∴ML＝，MK＝＝LN，
∴MN＝+＝，
∴m＝MN2＝2＝，
∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，
∴m＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（第17题4分，18、19题各6分，第20、21、题各8分，第22题10分，第23题12分，第24题12分，共66分）
17．（8分）计算求值：
（1）已知，求的值；
（2）2sin30°﹣tan60° cos30°．
【解答】解：（1）∵，
∴设a＝3x，则b＝4x，
∴＝＝﹣；
（2）原式＝2×﹣×
＝1﹣
＝﹣．
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（0，3）和（1，1）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+3．
所以y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
将其先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1的解析式为：y＝﹣（x++2）2+﹣1，即y＝﹣（x+）2+．
故抛物线C1的顶点坐标是（﹣，）．
19．（8分）如图，正方形ABCD中，AB＝9，E为BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）当BE＝3时，求tan∠EAF的值．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECF．
（2）∵BE＝3，AB＝BC＝9，
∴CE＝6，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
∴tan∠EAF＝＝．
20．（8分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD＝612m．
（1）已知BE⊥CD与CD交于点E，求BE的长度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92）；
（2）求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【解答】解：（1）过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H，如图所示：
则四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH，BE＝DH，
在Rt△BCE中，∵BC＝600，∠CBE＝22°，
∴CE＝BC sin22°＝600×0.37＝222（m），BE＝BC cos22°＝600×0.92＝552（m），
（2）∵DH＝BE＝552m，CD＝612m，
∴BH＝DE＝CD﹣CE＝612﹣222＝390（m），
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝53°，
∴tan53°＝，
∴AH≈＝300（m），
∴AD＝AH+DH＝300+552＝852（m），
答：该数学小组行进的水平距离AD约为852m．
21．（8分）如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：AD平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ADE，
由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AD平分∠EDC．
（2）解：∵∠EDA＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∴的度数为72°．
22．（10分）已知二次函数y＝x2+ax+a（a为常数，a≠0）．
（1）若函数经过点（﹣2，5），求二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）当0＜a＜4时，求该二次函数的图象与x轴的交点个数．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，其中x1＜x2，当x1+x2＞4时，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）将点（﹣2，5）的坐标代入函数解析式，得：5＝4﹣2a+a，解得a＝﹣1；
因此，二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣1，顶点坐标为（，﹣）．
（2）令x2+ax+a＝0，则Δ＝a2﹣4a＝a（a﹣4），
当0＜a＜4时，a（a﹣4）＜0，
则该二次函数的图象与x轴没有交点．
（3）∵M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1＝+ax1+a，y2＝+ax2+a，
∴y1﹣y2＝+ax1+a﹣（+ax2+a）＝﹣+a（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2+a）；
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∵y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（x1+x2+a）＜0，
∴x1+x2+a＞0，
∵x1+x2＞4，
∴a≥﹣4且a≠0．
23．（12分）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连接CA．连接BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝2OE；
（2）若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；
（3）如图2，若AE＝1，设tan∠CAE＝x，．
①用含有x的代数式表示OB的长；
②求y关于x的函数关系式．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AE＝BE，
∵OB＝OG，
∴OE是△ABG的中位线，
∴AG＝2OE；
（2）解：如图1，连接OA，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵tan∠CAE＝＝2，AE＝1，
∴CE＝2，
∵AO2＝AE2+OE2，
∴（2﹣OE）2＝12+OE2，
∴OE＝，
由（1）知，AG＝2OE；
∴AG＝；
（3）解：①如图2，连接OA，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵tan∠CAE＝＝x，AE＝1，
∴CE＝x，
∵AO2＝AE2+OE2，
∴OB2＝AE2+（x﹣OB）2，
∴OB＝；
②∵BG是⊙O的直径，
∴∠BAG＝90°，
∵∠BAG＝∠BEO＝90°，
∴OC∥AG，
∴∠C＝∠GAC，
∵∠GFA＝∠OFC，
∴△GAF∽△OCF，
∴，
∵，且GF+BF＝2OG，
∴OG＝ GF，
∵OF＝OG﹣GF，
∴OF＝GF，
∴，
如图3，连接OA，
∵OA＝OC，AG＝2OE，
∴，
∵tan∠CAE＝＝x，
∴CE＝x AE＝OA+OE，
∴AE＝，
Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，
∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA OE+OE2），
两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，
设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，
（1+）a2++﹣1＝0，
（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，
∴a1＝﹣1（舍），a2＝，
∴，
∴，
∴y＝．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高CF为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP（OP⊥CD），从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件：①不能碰到图2中的水柱；②落水点G，M的间距为GM＝0.4m；③水柱的最高点与点P的高度差为0.8m；④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度．
【解答】解：（1）建立如图所示坐标系，
由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为（7，5），点B（10，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣7）2+5，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（10﹣7）2+5，
解得：a＝﹣，
则右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5；
由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x+7）2+5．
（2）建立如图所示坐标系，设y轴交FE于点L，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5，
当y＝1.8时，即y＝﹣（x﹣7）2+5＝1.8，
解得：x1＝4.6，x2＝9.4（不合题意，舍去）．
∴LM＝LN＝4.6．
又GM＝0.4，
∴OG＝4.2．
∴G的坐标为：（﹣4.2，1.8）．
（3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+5，
则中间抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+c，
∵水柱的最高点与点P的高度差为0.8m，
即：该抛物线的最高点c﹣＝c﹣＝c+0.8，
解得：b＝，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+c，
由（2）知，点H（4.2，1.8），
将点H的坐标代入抛物线表达式得：1.8＝﹣×（4.2）2+×4.2+c，
解得：c＝6＝OP，
即OP＝6．
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