2023~2024学年度上期期末考试试题
九年级数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
2．考生使用答题卡作答。
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方。考试结束，监考人员只将答题卡收回。
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．球
2．若方程是关于的一元二次方程，则“□”中可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四条线段成比例，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，它们之间的关系用下列图形来表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形的面积的，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（ ）
A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验
B．关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验
8．已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：
①常数；
②的值随值的增大而减小；
③若点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，则；
④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．
其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．②③④
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．将方程化成一元二次方程的一般形式为_________．
10．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是_________．
11．如图，小强自制了一个小孔成像的纸筒装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛应放在水平距离纸筒点处_________的地方．
12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是_________．
13．如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．解方程（本小题满分12分，每题6分）
（1）； （2）．
15．（本小题满分8分）
如图，在正方形中，延长至点，使得，连接交于点．
（1）试探究的形状；
（2）求的度数．
16．（本小题满分8分）
2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，航天员们演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验．本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂。
（1）若航天员们随机连线一个地面课堂，求北京地面课堂被连线的概率；（请直接写出结果，不必写求解过程）
（2）某班组织同学们收看了本次太空科普课，并随机对李明和张敏两位同学进行了关于“你最感兴趣的实验”的采访，若将以上四个实验分别记为，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率
17．（本小题满分10分）
如图，在中，是边上的两点，连接，且满足平分．
（1）求证：；
（2）若，且，求的长．
18．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴正半轴，轴分别相交于两点．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）求证：；
（3）若点是位于点上方的轴上的动点，过两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点，连接．当，且的面积为18时，求点的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则代数式的值为_________．
20．已知方程的一个根是，则另一个根是_________．
21．在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在“靶”中，点分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是_________．
22．如图，在中，，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，交于点．若，则对角线的长为_________．
23．对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”．如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”只有2个，则的取值范围是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长60cm的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件．
（1）填空：小东想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的边长为，则另一个正方形配件的边长为_________cm（请用含x的代数式表示）；
（2）在（1）的基础上，若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小东的想法能否实现？为什么？
25．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于两点（点在点的右侧），与轴相交于点．
（1）当时．
ⅰ）分别求两点的坐标；
ⅱ）为轴上一动点，当时，求点的坐标；
（2）取点，连接，当时，求的值．
26．（本小题满分12分）
如图，在菱形中，为边上一动点（点不与重合），连接，将线段绕点顺时针旋转120°得到线段，连接交边于点，设．
【尝试初探】
（1）如图1，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接，当时，探究得出的值为1，请写出证明过程；
【联系拓展】
（3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出与之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接，若，当为等腰三角形时，求的长．
图1 图2 备用图
2023~2024学年度上期期末考试试题
参考答案及评分意见
九年级数学
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D D C A C
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
9． 10．7 11．60 12． 13．菱形
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．解方程（本小题满分12分，每题6分）
解：（1）整理，得．
，
．
．
．
（2）整理，得．
．
或．
解得．
15．（本小题满分8分）
解：（1）是等腰三角形，理由如下：
四边形是正方形，．
在中，．
又，
．
．
是等腰三角形．
四边形是正方形，
．
，
．
又，
．
．
16．（本小题满分8分）
解：（1）．
（2）列表如下：
或画树状图如下：
结果
．
由表（或图）可知，共有16种等可能性的结果，其中两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的结果有4种：．
所以，．
17．（本小题满分10分）
证明：（1）平分，．
，．
，
．
又，．
（2），即．
解得．．
又，．
设，
在中，．
即．．
．
18．（本小题满分10分）
解：（1）点在一次函数的图象上，
，即
．
．
反比例函数的表达式为．
（2）方法一：
设．
联立整理，得（*）
点的横坐标和点的横坐标2是它的两个根．
由根与系数的关系，得．．
点在的图象上，．
点的坐标为．
（说明：求点坐标接（ ）后，可以用解一元二次方程的方法求解）
，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
．
．
方法二：
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，射线与射线相交于点，连接．设．
点和都在反比例函数图象上，
．
．．
．
轴于点轴于点轴轴于点，
．
四边形是矩形．．
．．
又为公共角，．．
．
轴，轴．
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
．
．
方法一：
①当点在第一象限时．
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，直线交轴于点，连接．
．．
．．
．．
点在反比例函数的图象上，．
点的坐标为．
在直线上，
．解得．
．点的坐标为．
由（2）中的任意性可知：．．
．
．
．．
点的坐标为．
由可求得直线的函数表达式为．
联立整理，得．解得
．当时，．
点的坐标为．
②当点在第三象限时．
同①的方法可求得．
点的坐标为．
由可求得直线的函数表达式为．
联立整理，得．解得．
当时，．
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
方法二：
①当点在第一象限时，设直线的函数表达式为．
直线过点，即．
直线的函数表达式为点的坐标为．
联立整理，得．
点得横坐标和点得横坐标2是它的两个根，
由根与系数的关系，得．解得．
点在反比例函数的图像上，
点的坐标为．
过点作轴，交直线于点，
由方法一知点的坐标为点的坐标为．
．解得．
点的坐标为．
②当点在第三象限时．
同理，可设直线的函数表达式为．
点的坐标为，点的坐标为．
过点作轴，交直线于点．
同理，可得点的坐标为．
．解得．
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19． 20． 21． 22． 23．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
24．解：（1）；（说明：没加括号不扣分，没化简扣1分）
（2）由题意，得．
整理，得．
，（说明：没写“”扣1分）
该一元二次方程无解．
答：小东的想法不能实现．
25．（本小题满分10分）
解：（1）ⅰ）直线的函数表达式为，反比例函数表达式为．
联立
解得
点在点的右侧，
．
ⅱ），且，
．
，即．
又，
．
，即．
设，则．解得．
当时，点的坐标为或．
（2）过点作直线轴，分别过点作于点于点．
，
．
．
又，
．
，即．
设，
．
整理，得．
联立整理，得．
．
．解得（舍去）．
当时，的值为．
26．（本小题满分12分）
解：（1）在菱形中，
又，
．
．
．
（2）过点作于点．
，
．
．
，
．
．
．
．
．
由，设，则．
方法一：
过点作交于点．
．
．
在中，有，
．
又，
．（说明：证明全等亦可）
，即．
方法二：
过点作交延长线于点．
．
又，
．
．
又，
．（说明：证明全等亦可）
，即．
（3）①当时．
．
．
又，．
．
由，得．解得，即．
四边形是菱形，．
．
②当时．
．
同（2）可得．
．
．
由，得．
解得．即．
四边形是菱形，．
．
综上所述，当为等腰三角形时，的长为3或．
