南宁市三美学校2023—2024学年度上学期
初二数学综合练习（三）
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 下列式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
2. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华
3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
5. 如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 如图，在中，，，且，则BD长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. B. C. D.
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 把分式中，都扩大5倍，则分式的值（ ）
A. 扩大5倍 B. 扩大10倍 C. 缩小一半 D. 不变
10. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A. B. C. D.
12. 已知是边长为10的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交BC的延长线于F．若，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 使分式有意义的的取值范围是_____．
14. 人的头发发丝的直径大约为米，用科学记数法可以表示为________.
15. 分解因式：______．
16. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________．
17. 如图，的垂直平分线交于点D．则的大小为 ___．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的面积为______；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P坐标．（保留画图痕迹）
22. 为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
23. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．
（1）求的度数；
（2）如果 ，，求四边形的周长．
24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
25. 小明同学用如图1所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）①请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积.
方法1：____________；方法2：____________．
②以上结果可以验证的乘法公式是____________．
（2）小明想到利用（1）中得到的等式可以完成了下面这道题：如果满足，求的值；小明想：如果设，，那要求的式子就可以写成了，请你按照小明的思路完成这道题目；
（3）如图3，在长方形中，，，、是，上点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
26. 如图1，分别以的两边为边作和，使得．
（1）求证：；
（2）过点A分别作于点F，于点G，
①如图2，连接，请判断的形状，并说明理由；
②如图3，若与相交于点H，且，试猜想之间数量关系，并证南宁市三美学校2023—2024学年度上学期
初二数学综合练习（三）
（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 下列式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的定义判断即可.
【详解】、、的分母中不含有字母，属于整式，
的分母中含有字母，属于分式．
故选C．
【点睛】本题考查分式的定义.正确理解分式的定义是解题的关键.
2. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．
3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
4. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
5. 如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质进行求解即可得.
【详解】∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6. 如图，在中，，，且，则BD长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=2．
【详解】∵，，
∴,
故选：B．
【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
7. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为，
∴，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方进行计算即可．
【详解】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
9. 把分式中的，都扩大5倍，则分式的值（ ）
A. 扩大5倍 B. 扩大10倍 C. 缩小一半 D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得
，
可见新分式与原分式的值相等；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
10. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
11. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-1），
所以x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
12. 已知是边长为10的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交BC的延长线于F．若，则的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】作交于K．证明，由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：作交于K．
设，则是等边三角形，
在和中，
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 使分式有意义的的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
详解】由题意得，，
解得，
故答案为：．
14. 人的头发发丝的直径大约为米，用科学记数法可以表示为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】用科学记数法可以表示为，
故答案为：．
15. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16. 若一个长方形的面积为，其长为，则宽为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据整式的除法运算即可求出答案．
【详解】解：宽为．
故答案为：.
【点睛】本题考查整式的除法运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算法则，本题属于基础题型．
17. 如图，的垂直平分线交于点D．则的大小为 ___．
【答案】##30度
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出及的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形和数字规律的知识，根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角开 过点作轴的垂线，垂足为点得到点纵坐标是 ，根据以为边在右侧作等边三角形， 过点作轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ， 以此类推得点的纵坐标是，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
【详解】解：∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角开 过点作轴的垂线，垂足为点
∴
∴ ，点纵坐标是 ，
∵以为边在右侧作等边三角形， 过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，，
∴，
∴点纵坐标是 ，即，
∵以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点纵坐标是 ，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即．
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、零指数幂及负整数指数幂的运算，利用含乘方的有理数的混合运算、零指数幂及负整数指数幂的运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把x的值代入求值．
【详解】
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的面积为______；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图——轴对称图形、三角形面积：
（1）利用割补法即可求解；
（2）根据轴对称图形的性质作出轴对称图形即可求解；
（3）作点关于x轴对称的点，连接，交x轴于，连接，根据轴对称图形的性质可得，则此时值最小，进而可求解；
熟练掌握轴对称图形的性质及割补法求图形的面积是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
故答案为：．
【小问2详解】
根据轴对称图形的性质得：
如图所示，即为所求．
【小问3详解】
作点关于x轴对称的点，连接，交x轴于，连接，
，
，
则此时值最小，
如图所示，点P即为所求，坐标为．
22. 为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1）150；36
（2）见解析 （3）480人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）利用等百分比及频数可求得，利用等的频数除以总人数再乘即可求解；
（2）利用先求出等学生人数，再根据等学生人数进行补全频数分布直方图即可；
（3）利用样本评估总体的方法即可求解；
能从频数分布直方图及扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
，
故答案为：150；36．
【小问2详解】
等学生人数有：（人），
则补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
（人），
答：估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数有人．
23. 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．
（1）求的度数；
（2）如果 ，，求四边形的周长．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的判定及性质：
（1）利用等腰三角形的判定及性质得，再根据角平分线的性质得，进而可求解；
（2）利用角平分线性质得，再利用得，进而可得，，进而可求解；
熟练掌握基础知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：，且，
，
，
是的角平分线，
，
，
,
．
【小问2详解】
是的角平分线，且，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形为：．
24. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元；
（2）甲种农机具最多能购买6件．
【解析】
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可；
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
【小问2详解】
解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
∴甲种农机具最多能购买6件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式．
25. 小明同学用如图1所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）①请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积.
方法1：____________；方法2：____________．
②以上结果可以验证的乘法公式是____________．
（2）小明想到利用（1）中得到的等式可以完成了下面这道题：如果满足，求的值；小明想：如果设，，那要求的式子就可以写成了，请你按照小明的思路完成这道题目；
（3）如图3，在长方形中，，，、是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）①，；②
（2）见解析 （3）阴影部分面积和为96平方单位
【解析】
【分析】（1）①用两个小正方形的面积之和表示阴影部分面积，用大正方形的面积减去两个小长方形的面积表示阴影部分面积；
②根据表示阴影面积得出等式即可；
（2）设，，根据，得出，，利用完全平方公式变形计算即可；
（3）根据图形得出，，则长方形的面积为平方单位，阴影部分面积和为：，利用解析（2）中的方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：①阴影部分的面积可以表示为方法1：；
阴影部分的面积也可以表示为方法2：；
②则得到等式：．
故答案为：①；；②．
【小问2详解】
解：设，，
∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得：，，
则长方形的面积为平方单位，
阴影部分面积和为：，
设，，
则，
∵，
∴，
∴阴影部分面积和为96平方单位．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式．
26. 如图1，分别以的两边为边作和，使得．
（1）求证：；
（2）过点A分别作于点F，于点G，
①如图2，连接，请判断的形状，并说明理由；
②如图3，若与相交于点H，且，试猜想之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①是等腰三角形，理由见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据，可得，可证得，即可；
（2）①根据，可得，可证得，从而得到，即可；②证明，可得，再证明，可得，再得到，可得，从而得到，进而得到，则有，即可 ．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定是解题的关
