2024年九年级中考数学专题复习：四边形证明题（基础题）
1．已知，是的角平分线，交于点E，交于点F，求证：四边形为菱形．
2．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
3．如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当满足什么条件时，矩形是正方形，并说明理由．
4．如图，在中，点F是边的中点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由
5．如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
6．如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接．
(1)求证：为等腰直角三角形．
(2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点．
①当，求线段的长．
②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示．
7．如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论．
8．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求．
9．如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点．
(1)求证：．
(2)点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
10．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与分别相交于点．求证：
(1)；
(2)．
11．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形形状，说明理由．
12．如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
(1)求的长；
(2)求证：四边形为菱形．
13．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的面积．
14．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
15．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，将矩形纸片折叠，使点C的对应点始终落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．
【初步感知】
（1）如图2，当点与A重合时，连接，四边形是哪种特殊的四边形，并证明；
【深入探究】
（2）如图3，当，，点，，D在同一条直线上时，求的长．
参考答案：
1．证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
2．（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
，
平行四边形的面积．
3．（1）证明：∵点为的中点，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的角平分线，，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）当时，矩形是正方形．
理由：∵，是的角平分线，
∴是边的中线，即，
∵，
∴，
∴，
∵由（1）得四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
4．1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点F是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：四边形是矩形．理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
5．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
6．（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形．
（2）解：①为等腰直角三角形，
，
又，
，为等腰直角三角形，
在和中，，，
，
在中，，
，
，
为等腰直角三角形，
；
②，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
正方形中，
，，
，
，
与的相似比为k，
与的面积比为，
．
7．（1）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）在中点时，四边形是矩形，理由，
由（）得：，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵平行四边形是矩形，
∴， 即，
∵，
∴，
∴，
即在中点时，四边形是矩形．
8．（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图，过E作于G，
则，
∴，；
在中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得．
9．（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
于点，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，即，
点是边上一点（不与点重合），
，
，
与的函数表达式为（）．
10．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵点为对角线的中点，
∴
∴，
，
∴，即．
（2）由（1）可知：．
∴和等底等高，即
又∵，
，
∴．
11．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
点，分别是，的中点，
，，
．
在和中，
．
（2）证明：四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，．
点、分别是、的中点，
，．
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在直角中，
为的中点，
，
平行四边形是菱形．
12．（1）解：四边形是平行四边形，
，即，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
∴，
；
（2）证明：∵，
∴，，
由（1）得，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
13．（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形;
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为．
14．1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵是等边三角形，，
∴．
15．解：当点与A重合时，四边形是菱形，理由如下：
由折叠性质得
又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
解：如图3，设与交于点M，过点作于K，
由折叠得：，
∴，
又，
∴，
∴，
在四边形是矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∵点，，D在同一条直线上，
∴，
∴，
∴
∴或（舍去），
∴．
