2023年秋期九年级期终质量评估
数学试卷
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3.答题前，考生务必将本人姓名、考号、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2. 下列说法错误的是（ ）
A. “水涨船高”是必然事件
B. “水中捞月”是不可能事件
C. “了解一批节能灯管的使用寿命” 最适合用全面调查
D. “调查将发射的气象卫星的零部件质量”最适合用全面调查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了必然事件的定义，全面调查与抽样调查的意义．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．直接利用必然事件的定义以及全面调查与抽样调查的意义判断各项即可．
【详解】解：A．“水涨船高”是必然事件，故A选项不符合题意；
B．“水中捞月”是不可能事件，故B选项不符合题意；
C．“了解一批节能灯管的使用寿命” 最适合用抽样调查，原说法错误，故C选项符合题意；
D．“调查将发射的气象卫星的零部件质量”最适合用全面调查，故D选项不符合题意；
故选：C．
3. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查了函数图象的平移，先将二次函数解析式化为顶点式，再直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【详解】将化为顶点式为：，
将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为，即．
故选：B．
5. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长，交于点D，连接、、若，则的大小为．（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明，进而可得结论．
【详解】解：，，
，，
，
，
直径，
，
，
故选：C．
6. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.
【详解】解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .
故选C.
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.
7. 如图，与是位似图形，点O是位似中心．若，，，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了位似三角形，勾股定理．先求出，根据与是位似图形，点为位似中心，可得相似比为，再根据点与点D为对应点，且两个点在原点的两侧，即可作答．
【详解】∵，，
∴，
∵与是位似图形，点为位似中心，
∴，点与点D为对应点，
∴相似比为：，
∵，点与点D为对应点，且两个点在原点的两侧，
即，，
∴点D的坐标为．
故选：A．
8. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
9. 如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )
A. 16，6 B. 18，18 C. 16.12 D. 12，16
【答案】C
【解析】
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，，
∴
在中，，，点F是中点
∴
∵，点F是中点
∴，，
∴点D是的中点，
∴
∵D是的中点，点F是中点，
∴是的中位线，
∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子有意义，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
12. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，O是边上的点，以O为圆心，为半径的与相切于点D，平分，，，的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，根据相切可得，再根据特殊角的正切值可得，即可得，再证明，即可得，，问题随之得解．
【详解】与相切于点，
，
，
，
，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
∵
，
∵，
．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为_____．
【答案】π﹣2
【解析】
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：连接OE，如图，
∵CE∥OA，
∴∠BCE=90°，
∵OE=4，OC=2，
∴CE=OC=2，
∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，
∴S阴影部分=S扇形BOE﹣S△OCE﹣S扇形BCD= ﹣ ×2×2 ﹣=π﹣2．
故答案为π﹣2
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（共75分）
16. 计算或解方程．
（1）计算：；
（2）计算： ；
（3）解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，含三角函数的运算，解一元二次方程等知识，
（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值，再计算即可；
（3）运用公式法解方程即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 6.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85；87；七
（2）人
（3）八年级，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
同学得了86分，大于85分，小于87分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85；87；七；
【小问2详解】
解：（人，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；
【小问3详解】
解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．
18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19. 掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3. 5m处.
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
【答案】（1）
（2）该男生在此项考试中能得满分.
【解析】
【分析】（1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式.
（2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长，再与9.7作比较，即可判断是否得满分.
【小问1详解】
设
将代入得
解得
【小问2详解】
当时，
（舍去）
∴该男生在此项考试中能得满分.
【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，及二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数表达式式是解题的关键.
20. 如图，锐角内接于，射线经过圆心O并交于点D，连结，，与的延长线交于点F，平分．
（1）求证：．
（2）若，的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再结合圆周角定理以及角平分线的性质可得，问题即可得证；
（2）先得出，再结合，勾股定理可得，；结合（1）证明，即可求出，问题随之得解．
【小问1详解】
证明：四边形为的内接四边形，
，
，，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
由题意可得，是的直径，
，
，即，
又的半径为，
，
又∵，
，，
由 （1）可知，，，
，
，
，
，
，
的长为6．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角函数，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）18元 （3）19元，198元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，结合x的取值范围求解即可；
（3）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，由所给表格可知：
，解得：，
故y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得：．
又∵，
∴，
答：销售单价应为18元．
【小问3详解】
解：，
∵，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且，点M是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的左侧，过点M作轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点M沿抛物线向下移动，使得，求点M的纵坐标的取值范围；
（3）若点P是抛物线上对称轴右侧任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由抛物线的对称轴为直线，，可得点的横坐标的取值范围为，即，由于当时，随的增大而减小，求出时，，当时，．最后求解即可；
（3）将代入得：，解得：，，将代入得：，解得：，再确定的取值即可．
【小问1详解】
解： ，
．
又，
，
．
，为抛物线上的点，
将，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
抛物线的对称轴为直线，，
点的横坐标的取值范围为，即，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，．
点的纵坐标的取值范围为．
，
点的纵坐标的取值范围为．
【小问3详解】
点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3，
将代入得：，
解得：，，
将代入得：，
解得：，
点横坐标的取值范围是：或．
点P是抛物线上对称轴右侧任意一点，
点横坐标的取值范围是： ．
23. 综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
（1）在图②中，______，______；
（2）在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______．
【答案】（1）；．
（2）AE或CF或BF或DE（填一条即可）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，结合折叠知识，得出，，得出，得出，即可求出；设=x，则，在Rt中，根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程得出x的值，求出GE，CG，即可得出答案；
（2）根据，得出，根据，得出，根据折叠得出，即可得出，从而可以证明，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
（3）先根据折叠确定点的轨迹，然后根据其轨迹找出的最大值和最小值，即可确定m的取值范围．
【小问1详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=，，
∵点D的对应点D′恰好与点H重合，
∴，
∵矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H，
∴，，，
∴，
∴，，
即，
∴；
在中，，
根据折叠可知，，，
设=x，，
在Rt中，，
即，
解得：，
∴，
，
∴；
故答案：；．
小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴空白处可以填AE或CF或BF或DE．
故答案为：AE或CF或BF或DE（填其中任意一条即可）．
【小问3详解】
∵在将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点在以点C为圆心，以CD为半径的圆上，
∴当点在AC上时，最小，
即的最小值为AH，
∴，
∵点落在矩形的内部或一边上，
∴当点在点D时，最大，
∵0°<α≤90°，
∴最大无法取到最大值3，
∴，
综上分析可知，m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、三角函数的定义、三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，根据折叠得出的轨迹，是解题的关键．2023年秋期九年级期终质量评估
数学试卷
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3.答题前，考生务必将本人姓名、考号、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是（ ）
A. “水涨船高”必然事件
B. “水中捞月”是不可能事件
C. “了解一批节能灯管的使用寿命” 最适合用全面调查
D. “调查将发射的气象卫星的零部件质量”最适合用全面调查
3. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长，交于点D，连接、、若，则的大小为．（ ）
A. B. C. D.
6. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，与是位似图形，点O是位似中心．若，，，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )
A. 16，6 B. 18，18 C. 16.12 D. 12，16
10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子有意义，则x的取值范围是_______．
12. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 __________________．
13. 如图，在中，O是边上的点，以O为圆心，为半径的与相切于点D，平分，，，的长是________．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．
三、解答题（共75分）
16. 计算或解方程．
（1）计算：；
（2）计算： ；
（3）解方程：．
17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 6.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）
19. 掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3. 5m处.
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
20. 如图，锐角内接于，射线经过圆心O并交于点D，连结，，与的延长线交于点F，平分．
（1）求证：．
（2）若，的半径为，求的长．
21. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且，点M是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的左侧，过点M作轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点M沿抛物线向下移动，使得，求点M的纵坐标的取值范围；
（3）若点P是抛物线上对称轴右侧任意一点，点P与点A纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
23 综合与实践
我们在没有量角器或三角尺情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
（1）在图②中，______，______；
（2）在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______．
