2024年1月教学质量调研检测八年级数学试题
亲爱的同学们：本次考试将实行网上阅卷，所有试题答案一律填写在答题卡上相应区域，选择题用2B铅笔在相应小框框内涂黑，要求把小框框涂满，非选择题必须填写在相应的框框内横线上，不准填写在框框外，否则不得分．每题留下的横线可能较长，但答案可能很短．
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，3，6 B. 3，5，10 C. 4，6，9 D. 4，5，9
2. 如图，已知，且，则度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
3. 一次抽奖活动特等奖中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
5. 化简的结果是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
7. 已在，则（ ）
A. 1 B. 6 C. 8 D. 16
8. 已知，，，那么a，b，c之间的大小关系是（ ）
A B. C. D.
9. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. 直线l
C. 是直角三角形 D. 点A，B关于直线对称
10. 如图，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（ ）
A. 150° B. 112° C. 120° D. 146°
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 当时，分式的值是______________．
12. _______________．
13. 如图，是角平分线，，则___________．
14. 如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________．
15. 如图，已知，，．若P点从A点出发沿线段向左运动，以为直角边作等腰直角，连接，当P，Q，C三点共线时，P点的坐标是_______________．
三．解答题（共75分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
17. （1）多项式与有没有公因式？若有请求出来，若没有请说明理由．
（2）解方程：
18. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
19. 如图，在中，．老师要求在射线上找一点M，使得．
大伟思考后这样作图：以A为圆心，长为半经画弧交线段的延长线于点M，连接．
（1）请按大伟的做法补全图形．
（2）大伟的做法得到的是否是？如果是请证明，如果不是请说明理由．
20. 李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：70千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含m的代数式表示新能源车的每千米行驶费用：_________元；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.44元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4400元和6600元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
21. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？
22. （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，并延长到点G，使，连接．若，猜想之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
23. 如图，在中，平分，交边于点D，点E是边的中点．点P为边上的一个动点．
（1） ， 度；
（2）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（3）若是等腰三角形，求的度数；
（4）若点M在线段上，连接，直接写出的值最小时的长度．2024年1月教学质量调研检测八年级数学试题
亲爱的同学们：本次考试将实行网上阅卷，所有试题答案一律填写在答题卡上相应区域，选择题用2B铅笔在相应小框框内涂黑，要求把小框框涂满，非选择题必须填写在相应的框框内横线上，不准填写在框框外，否则不得分．每题留下的横线可能较长，但答案可能很短．
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，3，6 B. 3，5，10 C. 4，6，9 D. 4，5，9
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】A.∵，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B.∵，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C.∵，，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D.∵，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2. 如图，已知，且，则的度数是（ ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形性质，三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
3. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00002=2×10﹣5．
故选D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．
5. 化简的结果是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
根据同母的分式加法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
7. 已在，则（ ）
A. 1 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解答的关键．
根据幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
8. 已知，，，那么a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零指数幂和负整指数幂的运算法则计算出a，b，c的值即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查零指数幂和负整指数幂的运算．掌握相关运算法则是解题关键．
9. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. 直线l
C. 是直角三角形 D. 点A，B关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查角平分线的作法及直角三角形的判断，轴对称的性质，根据主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，等腰三角形的性质．根据作法得：，再根据等腰三角形的性质可得直线l，且平分直线l，即可．
【详解】解：A、根据作法得：，故选项正确，不符合题意；
B、直线l，且平分直线l，故选项正确，不符合题意；
D、点A，B关于直线对称，故选项正确，不符合题意；
C、根据作法无法得到是直角三角形，故选项错误，符合题意；
故选：C
10. 如图，在△PAB中，PA=PB，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（ ）
A. 150° B. 112° C. 120° D. 146°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=34°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△ADF和△BFE中，
，
∴△ADF≌△BFE（SAS），
∴∠ADF=∠BFE，
∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，
∴∠A=∠DFE=34°，
∴∠P=180°-∠A-∠B=112°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 当时，分式的值是______________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查求分式的值．把代入计算即可．
【详解】解：把代入得，
．
故答案为：．
12. _______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用平方差公式法进行简算．掌握平方差公式法因式分解，是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案为：．
13. 如图，是的角平分线，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可．
【详解】解：过点作于点，于点，如图所示，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________．
【答案】 ① 90 ②. 9
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质求出，，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求解．
【详解】∵，，
∴，．
由折叠的性质得，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：90，9．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含角的直角三角形的性质，以及折叠的性质，求出是解答本题的关键．
15. 如图，已知，，．若P点从A点出发沿线段向左运动，以为直角边作等腰直角，连接，当P，Q，C三点共线时，P点的坐标是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明，根据、，三点共线，得到，则，再根据等腰三角形的性质求出，即可得到点坐标．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴当、，三点共线时，，
，
，
，
点坐标为，
故答案为：．
三．解答题（共75分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算积的乘方，再算单项式的乘法即可；
（2）先算多项式除以单项式和多项式乘多项式，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. （1）多项式与有没有公因式？若有请求出来，若没有请说明理由．
（2）解方程：
【答案】（1）有公因式，公因式是
（2）原方程无解
【解析】
【分析】（1）将两个多项式进行因式分解，在找出公因式，即可求解，
（2）方程两边同乘，解出的值，再进行检验，
本题考查了分解因式，解分式方程，解题的关键是：熟练应用因式分解法解方程，要注意检验增根．
【详解】（1）解：，，
多项式与的公因式是，
故答案为：有公因式，公因式是，
（2）解：方程两边同乘，得：
，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
是增根，舍去，
原方程无解，
故答案为：原方程无解．
18. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论；
（2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【小问1详解】
证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19. 如图，在中，．老师要求在射线上找一点M，使得．
大伟思考后这样作图：以A为圆心，长为半经画弧交线段的延长线于点M，连接．
（1）请按大伟做法补全图形．
（2）大伟的做法得到的是否是？如果是请证明，如果不是请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作线段，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．
（1）按照作图步骤，画图即可；
（2）根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
是，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即：．
20. 李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：70千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：_____元
（1）用含m的代数式表示新能源车的每千米行驶费用：_________元；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.44元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4400元和6600元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）
（2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.44元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元，
即新能源车的每千米行驶费用为元；
故答案为：；
【小问2详解】
解：①燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.44元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.5元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
21. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？
【答案】（1）①③ （2）
（3）时，该式的值为整数
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．
【小问1详解】
解：①；
②；
③；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③，
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
，
当或时，分式的值为整数，
，0，或，
分式有意义时，，，，，
，
时，该式的值为整数．
22. （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，并延长到点G，使，连接．若，猜想之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）它们的数量关系是：，证明见解析；（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形．
（1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论；
（2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论．
【详解】解：它们的数量关系是：，
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（2）如图2，在上截取，连接．
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
23. 如图，在中，平分，交边于点D，点E是边的中点．点P为边上的一个动点．
（1） ， 度；
（2）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（3）若是等腰三角形，求的度数；
（4）若点M在线段上，连接，直接写出的值最小时的长度．
【答案】（1）4，
（2）4 （3）度或度或度
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数．
（2）根据轴对称图形的性质即可解答．
（3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．
（4）过点M作，作点P关于的对称点，根据题意可得，，可证明，则，因此，以此得出当点E、M、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含度角的直角三角形即可得到结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴
∵点E是边的中点，
∴
∵平分，
∴
故答案为：4，
【小问2详解】
解：∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线
∴；
【小问3详解】
解：∵平分，
∴，
当时，
，
∴；
当时，
当时，
；
综上，的度数度或度或度．
【小问4详解】
解：如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴当点E、M、三点共线时，的值最小，
又∵根据垂线段最短，
∴当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，得出当点E、M、三点共线时，的值最小是解题关键．
