保密★启用前
八年级开学合格性检测
数学（北师大版）
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的基本信息填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题
1．下列数中为无理数的是（ ）
A． B． C．0.123456 D．
2．如图，直线，线段交于两点，过点作交直线于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．平行于同一直线的两条直线互相平行
C．没有平方根的数是负数 D．轴上的点的横坐标均为0
4．某县中学举行校级联谊运动会，实验中学想要派一名跳高运动员代表学校去参加比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数/ 168 167 168 167
方差 4.2 10.6 5.8 5.5
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
6．如图，点是的边上的两点，线段的垂直平分线交于的垂直平分线恰好经过点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．某施工队修一段长度为360米的公路，施工队每天的效率相同，如表根据每天工程进度制作而成的．
施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 ……
累计完成施工量/米 30 60 90 120 150 180 210 ……
下列说法错误的是（ ）
A．随着施工时间的逐渐增大，累计完成施工量也逐渐增大
B．施工时间每增加1天，累计完成施工量就增加30米
C．当施工时间为9天时，累计完成施工量为270米
D．若累计完成施工量为330米，则施工时间为10天
二、填空题
9．当时，二次根式的值是______．
10．小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离（单位：米）与时间（单位：分钟）的对应关系如图所示，则小张骑车的速度为______米/分钟．
11．已知二元一次方程组的解为，则图中的面积为______．
12．如图，在中，若，且，则______．
13．把两个同样大小的含角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另外一个三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点在同一直线上．若，则______．
三、解答题
如图，已知，求证：．
15．如图，在正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为
（1）在图中建立适当的坐标系，则点的坐标为______；
（2）画出关于轴对称的．
16．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
17．如图，的边与的边在一条直线上，已知，，求证：．
18．计算：．
19．解下列方程组
（1） （2）
20．如图，已知，请用尺规在边上找一点，使得平分的面积．
21．数学就在身边．为保护学生的身心健康，现在的学生课桌、椅的高度都是可以调节的．小敏测量了一套课桌、椅原设计的四个档位桌椅高度，得到如下数据，课桌：68.0，72.8，76.0，79.2，椅子：38.0，41.0，43.0，45.0，他组织全班大部分同学试坐，要求根据自己身高，调节适合自己的课桌、椅高度，得到了如下对应数据：
高度/档 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高 38.0 41.0 43.0 45.0
桌高 68.0 72.8 76.0 79.2
（1）经过对上表数据研究，小敏发现：桌高是椅高的一次函数，小敏给符合这种条件的课桌椅起了一个名字叫科学配套桌椅，请你帮助他求出一个一次函数的关系式．（不要求写出的取值范围）
（2）小敏回家后，测量了自己家里的写字桌和椅子，写字桌的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否科学配套？说明理由．
22．富平柿饼以当地生产的传统名优柿子品种“富平尖柿”为原料，经过清洗削皮、日晒压捏、捏晒整形、定型捂霜等多道工序精细制作而成，因其肉多霜厚、底亮质润深受省内外人们的喜爱．某柿子种植户将自家的柿饼做成、两种规格的礼盒进行销售，已知3盒规格柿饼的总售价与4盒规格柿饼的总售价相同，3盒规格的柿饼总售价比2盒规格的柿饼总售价多180元，求每盒规格柿饼和每盒规格柿饼的售价分别为多少元？
23．2023年10月26日17时46分，神舟十七号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以下信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；此次被抽取的参赛作品成绩的众数为_分，中位数是_分；
（2）求此次被抽取的参赛作品成绩的平均数；
（3）若此次参赛的作品共有300份，请估计成绩不低于9分的学生有多少人？
24．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如表：
元 … 15 20 25 …
件 … 25 20 15 …
已知日销售量是销售价的一次函数．
（1）求日销售量（件）与每件产品的销售价（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
25．已知是的一个平方根，2是的立方根，求的算术平方根．
26．【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置．
直线是点的对称轴，
根据“_”可得的最小值是．
【问题探究】（2）如图3，在等边中，是边上的一点，且是上的一个动点，求周长的最小值；
【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形为斜边．边上存在一个点，且点到的距离等于20，连接的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D
9． 10．300 11．3 12． 13．或
14．证明：，，
即，又，
在和中，
．
15．
；
16．解：如下图所示
由题意可知：
旗杆的长为
设，则
解得：
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
17．证明：，
，
．
18．解：
．
19．（1）
①+②得：，解得：．
把代入①得：，解得：，
则原方程组的解为
（2）方程组整理得：
①-②×2得：，
把代入①得：，
解得：，
则原方程组的解为
20．解：如图，点，线段即为所求；
21．（1）设桌高与椅高关系式为，
依题意得
解得
桌高与椅高的关系式为．
（2）不科学配套，理由如下：
当时，，
该写字桌与椅子不科学配套．
22．解：设每盒规格柿饼的售价为元，每盒规格柿饼的售价为元．
根据题意得，
解得：，
答：每盒规格棒饼的售价为120元，每盒规格柿饼的售价为90元．
23．（1）解：从两个统计图可知，成绩为“9分”的数量是25件，占抽取作品数量的，
所以抽取作品的数量为：（件），
成绩为“8分”的作品数量为：（件），
补全条形统计图如图所示：
由图知，成绩为：8分的人数最多，
所以这组数据的众数为8分；
将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数
是8分，故答案为：8、8；
（2）解：平均数为：（分），
答：此次被抽取的参赛作品成绩的平均数是8.05分；
（3）解：（份），
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有90份．
24．解：（1）设，将和代入，得：，
解得：；
（2）将代入（1）中函数表达式得：
利润（元），答：此时每天利润为125元．
25．解：是的一个平方根，
，解得是的立方根，，解得，
的算术平方根为2．
26．解：（1）直线是点的对称轴，
根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是．
（2）过作于，连接，
等边，
，
是的垂直平分线，
，
当三点共线时，，
此时的周长最短，
而，
的周长最小值是；
（3）过作于，过作于，
，
，
，
，
，
过作于，交于，
，
，
在直线上运动，
，
是的垂直平分线，，
当三点共线时，
，此时线段和最小，
的周长最小，
而此时，
，
，
，
的周长最小值为：．
