成都市金牛区重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知，则（ ）
A． B． C．60 D．30
5．已知正项等差数列的前项和为，且，.则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知圆：，若圆：上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数，（），若存在，且，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在四面体中，，，，且，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（ ）种.
A．54 B．53 C．47 D．46
12．定义在上的可导函数满足，当时，，若实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 .
14．在正方体中，，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时， .
15．设数列满足，，，令，则数列的前100项和为 .
16．已知函数，，若函数有三个零点，，，则的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
不太了解 比较了解 合计
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
（1）判断是否有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有的把握认为两变量有关联.
18．（本小题满分12分）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求面积的取值范围.
19．（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且，.平面，且，.点，分别为线段，上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
20．（本小题满分12分）设点是椭圆：上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆：交于，两点.（给定）
（1）求证：；
（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21．（本小题满分12分）设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若当时，恒有，求实数的取值范围；
（3）设时，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。如果多选，则按所做的第一题记分。
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程，曲线的直角坐标方程；
（2）曲线与曲线，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设，分别为曲线与曲线上的动点，求线段的最小值.
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若，且，求证：.
【参考答案】
成都市金牛区重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】由题意，，故，
故，则的真子集的个数为.
2．D
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
3．C
【解析】由题意，复数满足，可得，
所以.则，
4．C
【解析】设，则，所以.
的展开式的通项，取得.
5．C
【解析】设正项等差数列的公差为，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，，则，
所以，由，得，
得，即，所以，所以，，得，，，错误；
，正确；，错误.
6．D
【解析】由已知可得，解得，
所以，，
故.
7．D
【解析】由已知得①，
则当时，②
所以得，即，
又当时，，符合，
故，
所以
令，得，所以的最大值为.
8．D
【解析】设点的坐标为，如图所示：
由可知：，而，
，整理得，即.
点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又点在圆上，所以点为圆与圆的交点，即要想满足题意，只要让圆和圆有公共点即可，两圆的位置关系为外切，相交或内切，，解得.
9．A
【解析】不妨取，由可得：
，
由可得，
由图可取，，要使存在，且，使得，需使，解得.
10．B
【解析】如图，作平面，连接，，，易得，因，，，平面，
所以平面，平面，故，
由题可得，，则.
不妨设，，则有①，
在中，由余弦定理，，
在中，②，
将两式相减化简即得：，.
取线段中点，过点作平面，其中点为外接球的球心，设外接球半径为，
由余弦定理求得，
在直角梯形中，，由计算可得：，则该四面体的外接球表面积为.
11．B
【解析】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1、3、5、7、9，一组为偶数0、2、4、6、8，
若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：
①取出的3个数全部为奇数，有种情况，都符合题意，
②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，
若奇数取9，有种情况；
若奇数取7，有种情况；
若奇数取5，有种情况；
若奇数取3，有种情况；
若奇数取1，有种情况；
综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有种.
12．C
【解析】由，得.
令，则，即为偶函数.
当时，，所以在上单调递增；
所以在上单调递减.
由，
得，即.
又为偶函数，所以，
因为在上单调递减，
所以，即，解得，或，
所以的取值范围为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】根据题意可得，故可得，则，则右焦点坐标为，一条渐近线为，
右焦点到一条渐近线的距离.
14．
【解析】以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，，
因为，故，即，
由于平面，平面，故，
所以的面积为，
而，
故，当时，取最小值，即最小，
此时，，则，
故，即，
故答案为：
15．
【解析】数列满足，，，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
因此，显然的周期为4，
则
，
令，则有，
，数列是等差数列，
数列的前100项和，即数列的前25项和.
16．
【解析】由题意设，则函数的零点即为方程的根，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示：
若函数有三个零点，，，（不妨设为），
则方程的根有三个根，，，且，
所以，且，
因为在单调递增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，
所以.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（1）
根据列联表中的数据，得，
所以没有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
（2）
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以的取值依次为0，1，2，
，，，所以的分布列为
0 1 2
.
18．（1）
，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）
在锐角中，，，记的面积为.
由正弦定理得，即，.
所以.
因为在锐角中，，所以，，
解得，，
则，故.
19．（1）
如图，以为原点，分别以，，方向为，，轴建立坐标系.
，，，，.
，，，.
设平面的法向量为，
则由，，，取得.
因为，，所以，
解得，，.
所以，且平面，所以平面
（2）
设平面的法向量为
则由，，，解得.
所以，
解得.
20．（1）
设直线斜率不存在，则点在轴上，由对称性可知，，
若直线的斜率存在，设：，，，，
联立，可得，
当时，直线与椭圆切于点，，
解得：，，当时，线段中点的横坐标，所以点为线段的中点，，综上，；
（2）
若直线斜率不存在，则：，与椭圆方程联立可得，，，
故，若直线的斜率存在，由（1）可得，，
，点到直线的距离，
所以，综上的面积为定值.
21．（1）
因为，则，
则，，即切点坐标为，斜率，
由题意可得：，解得，.
（2）
令，
则，
由题意可知：当时，恒有，且，
则，解得，
若，则有：
①当时，，
因为，可知，令，
因为，在内单调递增，可得在内单调递增，
则，即，符合题意；
②当时，则在内恒成立，符合题意；
③当时，令，
则，
因为，则，，
可知在内恒成立，则在内单调递增，可得，
则在内单调递增，可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）
由（2）可知：当，时，，
令，可得，
令，则，，则，整理得，
令，，则，整理得，
则，，…，，
所以.
22．（1）
曲线的普通方程，
极坐标方程，，
曲线的极坐标方程为.化为直角坐标方程为；
（2）
曲线的普通方程，圆心为，到直线的距离为，故曲线与曲线的无公共点，
即直线与圆相离，得线段的最小值为.
23．（1）
不等式可化为或，
由，可得，解得或；
由，可得，解得，
所以不等式的解集为.
（2）
由题意，知，当时，，
因在上单调递减，则；
当时，，
因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；
当时，，
因在上单调递增，则.
综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，
因，，所以，当且仅当，时等号成立，
故.
