2023-2024学年数学八年级三角形的证明（北师大版）
单元测试 基础卷一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）通过画图，判断下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．有两个内角相等的三角形 B．有一个角是的直角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是、一个角是的三角形
2．（本题3分）到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条内角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．（本题3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
4．（本题3分）如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
5．（本题3分）如图，在 中，于点 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）在直角三角形中，两个锐角关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对
7．（本题3分）一个等腰三角形的两边之和是180厘米，三角形中一条边是50厘米，则这个等腰三角形的周长是（ ）厘米．
A．310 B．230 C．190 D．230或310
8．（本题3分）如图所示，平分，平分，且，设，，，则的周长为（ ）
A．34 B．32 C．30 D．28
9．（本题3分）如图，点在内，点关于，的对称点分别为，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，把其中一把直尺的一边与射线重合，另一把直尺的一边与射线重合，且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ．
12．（本题3分）等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 ．
13．（本题3分）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是 度．
14．（本题3分）在中，，则的度数为 ．
15．（本题3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．（本题3分）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点E，若，，则 ．
17．（本题3分）如图，是的角平分线，于点E，若，，则的面积为 ．
18．（本题3分）如图，在中，斜边的中垂线交于点，交的外角平分线于点于点垂直的延长线于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
20．（本题8分）如图，在中，，是中线，是角平分线，．求和的度数．
21．（本题10分）如图，和都是等边三角形．
求证：．
22．（本题10分）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
23．（本题10分）如图，四边形中， ，，，，垂足为E．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
24．（本题10分）如图，于点，于点，．求证：．
25．（本题10分）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点A时运动结束，设出发的时间为秒．
(1)出发1秒时，求的长；
(2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分；
(3)当点在边上运动时，请直接写出能使成为等腰三角形的运动时间．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查轴对称图形的定义与判断，根据轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图形是等腰三角形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是等腰直角三角形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形是、、的等腰三角形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键．
【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案．
【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意；
C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线上点到角两端的距离相等可得，由点为边上任意一点即可得出即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知：为的平分线，过点作，
为的平分线且，，，
，
，点为边上任意一点，
，即，
的长度不可能为，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角的性质，根据求出，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴
故选：D
6．A
【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形的性质“直角三角形两锐角互余”即可判断．
【详解】解：直角三角形中，两个锐角互余．
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两腰相等，分情况讨论：当50厘米是底边，180厘米为两腰之和，当50厘米是底边，180厘米为腰和底之和，当50厘米是腰时，180厘米为一条腰和底之和，分别求出结果即可．
【详解】解：当50厘米是底边，180厘米为两腰之和，则腰长为（厘米），因为，符合三角形的三边关系，此时这个等腰三角形的周长是：
（厘米）；
当50厘米是底边，180厘米为腰和底之和，则腰长为（厘米），因为，符合三角形的三边关系，此时这个等腰三角形的周长是：
（厘米）；
当50厘米是腰时，180厘米为一条腰和底之和，则底边长为（厘米），因为，所以这样的三边不能构成三角形，不符合题意；
综上分析可知，这个等腰三角形的周长是230厘米或310厘米．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵设，，
∴的周长为：
．
故选：C．
9．B
【分析】连接、，由对称的性质可知，，结合，可得，进而求出的度数，本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质．
【详解】解：连接、，
点关于，的对称点分别为，，
，，，
又，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查了基本作图，过两把直尺的交点作与点，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得平分，解题的关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
【详解】如图所示：过两把直尺的交点作与点，
由题意得，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：．
11．
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
是中点，
，
等边三角形，
周长，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查等腰三级形的定义，构成三角形的条件．分3为腰长和6为腰长，进行讨论求解即可．
【详解】解：当3为腰长时：，不能构成三角形；
∴6为腰长，
∴它的周长为；
故答案为：15．
13．120
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为，可以求出其底角或顶角的度数．
【详解】解：等腰三角形顶角的大小是，
故答案为：120．
14．/34度
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
15．12
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，分当腰长为2时，当腰长为5时，两种情况根据构成三角形的条件进行讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为2时，则该等腰三角形三边长为2，2，5，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为5时，则该等腰三角形三边长为2，5，5，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为，
故答案为：12．
16．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，连接，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，，根据勾股定理求出x即可．
【详解】解：连接，如图：
由作图得到垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
设，则，，
在中，
，
即，
解得：，
即的长为，
故答案为：．
17．1
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点作于点，由角平分线的性质可知，再由三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，
∵是的角平分线，于点E，，
∴，
∵，
∴
故答案为：1．
18．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用判定和性质是解决问题的关键．利用“” 证明；证明，进而不能证明；利用“”字模型可证；连接，可证，则得．
【详解】解：平分，，，
，，
垂直平分，
，
在和中
，
故正确；
由可知，，
，
又，
，
，
故正确；
平分，
，
由可知，，
，
，
中的度数没有给出，由图可知，
，
不能判断，
故错误；
连接，
垂直平分，
，
在中，，
，
，，
，
，
故错误．
故答案为：．
19．(1)
(2)与，或与
【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可；
【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，
由题意得：，
解得：
∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，
即各边长分别是；
（2）当腰为时，底边长为： ，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
当底为时，腰长为：，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
综上所述：其余两边分别为与，或与．
20．，
【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一解答．根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可．
【详解】，，
，
，是中线，
，即．
．
，是的平分线，
．
是的外角，
．
21．见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定．解答的关键是运用证明．
【详解】证明：∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键．
（1）证即可求证；
（2）由（1）可得，据此即可求证．
【详解】（1）证明：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，得到，利用证明全等即可；
（2）根据，得到，结合，计算，利用直角三角形两个锐角互余，计算，计算即可．
【详解】（1）证明：，
．
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
．
24．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，用证明即可得到．
【详解】证明：，
，
在和中
，
．
．
25．(1)的长为
(2)P在上运动时不能把的周长平分；
(3)当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出，再求出和，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论；
（3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得t；
②当时（图2），则，易求得t；
③当时（图3），过B点作于点E，则求出，，即可得出t．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴；
（2）解：由勾股定理得：，
根据题意得：，，，
若能把的周长平分，则，
即，
解得：，
此时，
∴不合题意，
∴点Q在边上运动时，不能把的周长平分；
（3）解：①当时，如图1所示
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
②当时，如图2所示：
则，
∴（秒）；
③当时，如图3所示：
过B点作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
由上可知，当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质、一元一次方程的应用，注意方程思想、分类讨论思想的应用．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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