莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项和为，若，则当取最大值时，的值为（ ）
A.6 B.7 C.6或7 D.7或8
4.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A. B.2 C. D.
6.已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列满足.若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线与双曲线相切，且交轴于点，交轴于点.则（ ）
A.的渐近线方程为
B.过点作，垂足为，则
C.点的坐标为
D.四边形面积的最小值为4
三 填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为__________.
13.在边长为的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为__________时，箱子容积最大.
14.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若时，求的取值范围.
16.（15分）已知数列满足.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
17.（15分）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18.（17分）设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于两点，且与轴交于点.若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.
19.（17分）已知函数
（1）若函数的最小值为0，求的值；
（2）证明：
莆田第一中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学答案
1-4CACC 58DCBD 9.BD 10.BC 11.ABD
12. 13.4 14.
15.解：（1），
当时，在上单调递增，无极值
当时，由得，由得
则在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值，无极大值.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，符合题意
当时，在上单调递增，符合题意
当时，在上单调递减，在上单调递增，
等价于，得.
综上的取值范围是
16.（1）证明：依题意，由，可得
，即，
，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
（2）解：由（1），可得，即，
，
，
，
两式相减，可得
，
.
17.（1）证明：取的中点，连接，
因为，
所以为等边三角形，，
同理可证.
因为，所以，则.
因为平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知两两垂直，
故以为坐标原点，以射线分别为轴 轴 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
则，
设平面的法向量为，
由于，即
令，可得，
又由（1）易知平面的法向量为，
设二面角为，则，
则.
18.解：（1）由题可得，，所以，
因为椭圆的离心率为.所以，
结合椭圆中可知，.
所以椭圆的标准方程为.
（2），设.
因为直线与直线的倾斜角互补，所以可知，
即，化简得.
设直线，将代入上式，
整理可得.
且由消元化简可得，
所以，
代入上式，由，解得.
所以.
因为点到直线的距离，
且，
所以.
由于，所以，
令，则，所以，
当且仅当时取等号.
所以的面积的最大值为.
19.解：（1）定义域为，且.
若，则，于是在上单调递增，
故无最小值，不合题意
若，则当时，当时，
则在上单调递减，在上单调递增，
于是当时，取得最小值
由已知得，解得.
综上所述，.
（2）①先证明当时，
设，则
则当时，，所以在上单调递减，
当时，，即.
当时，
所以
设，则
则当时，，所以在上单调递增，
当时，.
设，则
当时，；当时，；
则在上递减，在上递增.
则当时取得最小值.故
于是
②当时，，
因为，所以
所以
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，.
即.所以.
综上，不等式恒成立.
