专题07 分式（3）
考点12：分式的混合运算
1．计算（1﹣）（m+1）的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．m D．﹣m
【答案】C
【解析】原式＝ （m+1）
＝m．
故选：C．
2．下列分式运算正确的是（ ）
A．＝ B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、不能化简，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项正确；
D、不能化简，所以D选项错误．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝ B．（）﹣3＝﹣
C．+＝a﹣1 D．3x2y+＝x5
【答案】B
【解析】A、原式＝＝﹣，所以A选项的计算错误；
B、原式＝＝﹣，所以B项的计算正确；
C、原式＝＝＝a+1，所以C选项的计算错误；
D、原式＝，所以D项的计算错误．
故选：B．
4．化简÷（a﹣）的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【答案】C
【解析】原式＝÷
＝
＝，
故选：C．
5．计算：的结果为________．
【答案】．
【解析】
＝
＝﹣
＝，
6．计算：＝________．
【答案】2x﹣8．
【解析】原式＝
＝2（x﹣4）
＝2x﹣8，
7．已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝________．
【答案】a+1．
【解析】∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝﹣，
S3＝＝，
S4＝＝a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
8．计算：．
【答案】见解析
【解析】原式＝．
考点13：分式的化简求值
1．若a+b＝3，ab＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝4，
∴原式＝＝，
故选：A．
2．若＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为＝2，得a＝2b．
所以＝＝＝＝＝．
故选：B．
3．如果a（a﹣b）＝6，那么代数式（a﹣） 的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【答案】A
【解析】（a﹣）
＝
＝
＝a（a﹣b），
∵a（a﹣b）＝6，
∴原式＝6，
故选：A．
4．如果m﹣n＝1，那么代数式的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【解析】
＝
＝
＝
＝，
把m﹣n＝1代入上式，
原式＝1．
故选：C．
5．已知实数m、n均不为0且＝2，则﹣＝________．
【答案】．
【解析】已知等式变形得：＝2，
去分母得：m﹣n﹣2mn＝4（m﹣n）+14mn，
整理得：3（m﹣n）＝﹣16mn，即m﹣n＝﹣mn，
则原式＝＝﹣＝．
6．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则+＝________．
【答案】3．
【解析】∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴+＝＝3．
7．已知2a2﹣3a﹣2＝0，则a2+＝ ，4a2﹣5﹣6a＝________．
【答案】，﹣1．
【解析】∵2a2﹣3a﹣2＝0，
∴2a2﹣2＝3a，
∴a2﹣1＝a，
除以a得：a﹣＝，
∴两边平方得：（a﹣）2＝a2+﹣2a＝，
∴a2+＝+2＝，
∵2a2﹣3a﹣2＝0，
∴2a2﹣3a＝2，
∴两边乘以2得：4a2﹣6a＝4，
∴4a2﹣5﹣6a＝4﹣5＝﹣1，
8．（1）解方程组；
（2）先化简，再求值：，选择一个你最喜欢的数代入计算．
【答案】见解析
【解析】（1），
①+②得：4x＝﹣8，
∴x＝﹣2，
将x＝﹣2代入①可得：﹣6﹣2y＝﹣8，
∴y＝1，
∴方程组的解为．
（2）原式＝（+）
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：x可取4，
∴原式＝＝．
考点14：比例的性质
1．已知＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：A．
2．若2x＝3y，且x≠0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵2x＝3y，且x≠0，
∴两边除以2y得：＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝，
故选：C．
3．若＝＝，a+b+c＝18，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
即a＝2k＝4，
故选：C．
4．若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
【答案】B
【解析】∵＝＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，
故原式＝
＝
＝﹣．
故选：B．
5．已知a：b：c＝9：11：14，且a+b+c＝68，则3a﹣2b+c＝________．
【答案】38．
【解析】∵a：b：c＝9：11：14，且a+b+c＝68，
∴设a＝9x，b＝11x，c＝14x，
则9x+11x+14x＝68，
解得：x＝2，
故a＝18，b＝22，c＝28，
∴3a﹣2b+c＝54﹣44+28＝38．
6．已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝________．
【答案】．
【解析】∵x：y：z＝1：2：3，
∴设x＝t，y＝2t，z＝3t，
∵x﹣2y+3z＝4，
∴t﹣4t+9t＝4，
解得t＝，
∴x﹣y+z＝t﹣2t+3t＝2t＝2×＝．
7．若＝，则的值为________．
【答案】5．
【解析】∵＝，
∴4b＝a﹣b，
则5b＝a，
故＝＝5．
8．已知x：y＝2：3，求：
（1）的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值．
【答案】见解析
【解析】由x：y＝2：3，设x＝2k，y＝3k；
（1）＝＝﹣2；
（2）∵x+y＝15，
∴2k+3k＝15，
解得：k＝3，
∴x＝6，y＝9．
考点15：比例线段
1．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（ ）
A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．
【答案】D
【解析】∵a：b＝2：3，
∴3a＝2b，＝，
∴＝＝，＝＝﹣，
∴＝﹣2，
无法得到b﹣a＝1．
故选：D．
2．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．，2，3 D．2，3，4，5
【答案】C
【解析】A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；
B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；
C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．
故选：C．
3．a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm
B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm
C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm
D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm
【答案】B
【解析】A、2×10≠5×5，这四条线段不成比例；
B、3×10＝6×5，这四条线段成比例；
C、30×0.8≠2×2，这四条线段不成比例；
D、0.02×7≠0.3×5，这四条线段不成比例；
故选：B．
4．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
【答案】D
【解析】A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
5．在比例尺为1：200000的宝应城市交通地图上，宝应大道的长为3cm，则这条道路的实际长度是________．
【答案】6km．
【解析】∵在比例尺为1：200000的宝应城市交通地图上，宝应大道的长为3cm，
∴这条道路的实际长度是：3×200000cm＝6km．
6．如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝________．
【答案】．
【解析】∵＝＝，
∴＝＝，
∵b+2d≠0，
∴＝；
7．在一幅比例尺是1：6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是________千米．
【答案】120．
【解析】因为比例尺＝，
所以实际距离＝＝2×6000000＝12000000（厘米），
12000000厘米＝120千米．
8．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？
【答案】见解析
【解析】10×3000000＝30000000（厘米），
30000000厘米＝300千米，
设甲车的速度是2x千米/时，则乙车的速度是3x千米/时，根据题意得
3（2x+3x）＝300，
解得x＝20，
2x＝2×20＝40，
3x＝3×20＝60．
答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时．
考点16：黄金分割
1．已知P是线段AB的黄金分割点，且AB＝+1，则AP的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．3﹣
【答案】C
【解析】点P是线段AB的黄金分割点，
当AP＞BP时，AP＝×AB＝×（+1）＝2，
当AP＜BP时，AP＝（+1）﹣2＝﹣1，
故选：C．
2．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（ ）
A．+1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，
故选：B．
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）
A．5﹣5 B．5﹣ C．5﹣1 D．
【答案】A
【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝5﹣5．
故选：A．
4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】A
【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
5．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是________cm．（结果保留整数）
【答案】185．
【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，
由题意得，≈0.618，
解得，x≈43.7，
∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，
∴≈0.618，
解得，y≈114.4，
其身高＝114.4+70.7≈185（cm），
6．若点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AC的长为4，则BC＝________．
【答案】2﹣2．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝＝2（+1），
∴BC＝AB﹣AC＝2（+1）﹣4＝2﹣2；
7．宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形．从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的条边的长为 ________cm（结果保留根号）．
【答案】（10﹣10）．
【解析】根据题意得矩形的宽为20×＝（10﹣10）cm．
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
【答案】见解析
【解析】（1）设∠B＝x，
∵BD＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，
∵AC＝DC，
∴∠A＝∠ADC＝2x，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴x+2x＝108°，解得x＝36°，
即∠B的度数为36°；
（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．
理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，
∴△DBC为黄金三角形；
∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，
而∠A＝2×36°＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
而∠B＝36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，
而CA＝CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴＝，
而BC＝2，
∴AC＝﹣1，
∴CD＝CA＝﹣1，
∴BD＝CD＝﹣1，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
考点17：平行线分线段成比例
1．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴BE＝BC+EC＝3+＝，
故选：A．
2．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．25
【答案】B
【解析】∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝9，
故选：B．
3．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴＝＝＝，
∴AD＝×8＝6．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，AE＝BD＝2，则线段CE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝3，AE＝BD＝2，
∴＝，
解得：CE＝，
故选：C．
5．已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________．
【答案】1：5．
【解析】过点D作DH∥BE交AC于H，
∵DH∥BE，
∴＝＝1，＝＝3，
∴AE＝EH，CH＝3EH，
∴AE：AC＝1：5，
6．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝________．
【答案】．
【解析】∵BE＝AB，CF＝AC，
∴则＝，＝，
分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则EE1∥FF1，
∴△EE1P∽△FF1P，
＝，＝＝，＝＝，
又BD＝CD，
∴＝，
∴＝＝，
7．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为________．
【答案】3.6．
【解析】∵a∥b∥c，
∴＝，
即＝，
∴DE＝3.6，
8．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于F，求证：F是DE的中点．
【解答】证明：∵D是△ABC的边AB的中点，
∴AD＝DB，
∵DE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝FC，
∵CE∥AB，
∴＝＝1，
∴DF＝EF，即F是DE的中点．
()
专题07 分式（3）
考点12：分式的混合运算
1．计算（1﹣）（m+1）的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．m D．﹣m
2．下列分式运算正确的是（ ）
A．＝ B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝ B．（）﹣3＝﹣
C．+＝a﹣1 D．3x2y+＝x5
4．化简÷（a﹣）的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
5．计算：的结果为________．
6．计算：＝________．
7．已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝________．
8．计算：．
考点13：分式的化简求值
1．若a+b＝3，ab＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若＝2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如果a（a﹣b）＝6，那么代数式（a﹣） 的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
4．如果m﹣n＝1，那么代数式的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．已知实数m、n均不为0且＝2，则﹣＝________．
6．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则+＝________．
7．已知2a2﹣3a﹣2＝0，则a2+＝ ，4a2﹣5﹣6a＝________．
8．（1）解方程组；
（2）先化简，再求值：，选择一个你最喜欢的数代入计算．
考点14：比例的性质
1．已知＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若2x＝3y，且x≠0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若＝＝，a+b+c＝18，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
5．已知a：b：c＝9：11：14，且a+b+c＝68，则3a﹣2b+c＝________．
6．已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝________．
7．若＝，则的值为________．
8．已知x：y＝2：3，求：
（1）的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值．
考点15：比例线段
1．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（ ）
A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．
2．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．，2，3 D．2，3，4，5
3．a，b，c，d是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（ ）
A．a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，d＝10cm
B．a＝5cm，b＝3cm，c＝10cm，d＝6cm
C．a＝30cm，b＝2cm，c＝0.8cm，d＝2cm
D．a＝5cm，b＝0.02cm，c＝7cm，d＝0.3cm
4．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
5．在比例尺为1：200000的宝应城市交通地图上，宝应大道的长为3cm，则这条道路的实际长度是________．
6．如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝________．
7．在一幅比例尺是1：6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是________千米．
8．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？
考点16：黄金分割
1．已知P是线段AB的黄金分割点，且AB＝+1，则AP的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．3﹣
2．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（ ）
A．+1 B．﹣1 C． D．
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）
A．5﹣5 B．5﹣ C．5﹣1 D．
4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
5．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是________cm．（结果保留整数）
6．若点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AC的长为4，则BC＝________．
7．宽与长的比是黄金比的矩形，称为黄金矩形．从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为20cm，那么与其相邻的条边的长为 ________cm（结果保留根号）．
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
考点17：平行线分线段成比例
1．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
2．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．25
3．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，AE＝BD＝2，则线段CE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．已知如图：CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________．
6．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝________．
7．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为________．
8．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于F，求证：F是DE的中点．
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