专题04 图形的轴对称（3）
考点11：等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．29°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝4，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．已知等腰三角形的两边长分别为+和，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．++2
B．2+2+或++2
C．2+2+
D．2+2+或++2或2+2+2
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD，BF、DF分别平分∠ABC和∠ADC并交于点F，BF交AC于点G，已知CD＝AC，∠AGF＝91°，则∠F的度数为________°．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为________．
7．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是________．
8．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P．
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数．
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC，
考点12：等腰三角形的判定
1．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（ ）
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
3．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（ ）
①∠AEG＝∠AGE；②BH＝CH；③∠EAG＝2∠EBC；④S△ACF＝S△BCF．
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
5．若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝________cm时，△ABC为等腰三角形．
6．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝________．
7．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为________三角形．
8．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．
考点13：等腰三角形的判定与性质
1．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE．若DE＝3.5cm，AB＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
3．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为（ ）
A．10 B．5.5 C．6 D．5
5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有________．（填正确的序号）
6．如图，在△ABC中，BC＝30，CA＝40，AB＝50，D、E是△ABC内两点，满足AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，DE∥AB，且DE＝10，则△CDE的面积为________．
7．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是________．
8．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
考点14：等边三角形的性质
1．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是：（ ）
A．①﹣﹣不等边三角形 B．②③﹣﹣等腰三角形
C．③﹣﹣等边三角形 D．②③﹣﹣等边三角形
2．等边三角形的边长为6，则它的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36a D．18
3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF；⑤∠MNG＝∠ACN．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是________．
6．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为________．
7．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在CD的同侧，若AB＝4，BE的长为________．
8．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
考点15：等边三角形的判定
1．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD BC
2．若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（ ）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
5．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝________．
6．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有________（填序号）．
7．如图，把边长为acm的等边△ABC剪成四部分，从三角形三个顶点往下bcm处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边△DEF．若△DEF的面积是△ABC的，则的值为________．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
考点16：等边三角形的判定与性质
1．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．关于等边三角形，下列说法中错误的是（ ）
A．等边三角形中，各边都相等
B．等腰三角形是特殊的等边三角形
C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
5．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为________．
6．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝________米．
7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．
8．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．专题04 图形的轴对称（3）
考点11：等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．29°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝69°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝42°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝27°．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝4，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，
在Rt△ACE中，CE＝＝3，
故选：B．
4．已知等腰三角形的两边长分别为+和，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．++2
B．2+2+或++2
C．2+2+
D．2+2+或++2或2+2+2
【答案】C
【解析】当等腰三角形的腰为+，底为时，+，+，能够组成三角形，此时周长为++++＝2+2+；
当等腰三角形的腰为，底为+时，
∵+＞+，
∴不能够组成三角形，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD，BF、DF分别平分∠ABC和∠ADC并交于点F，BF交AC于点G，已知CD＝AC，∠AGF＝91°，则∠F的度数为________°．
【答案】13°．
【解析】∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠ADC＝∠CDA＝2∠ABD，
设∠ABD＝∠BAD＝α，
∴∠ADC＝∠CAD＝2α，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝3α，
∵BF、DF分别平分∠ABC和∠ADC并交于点F，
∴∠FBC＝∠ABF＝，，
∴∠ABC＝∠FDC，
∴AB∥DF，
∴∠F＝∠ABF＝，
∵∠AGF＝∠ABG+∠BAC＝α+3α＝91°，
∴α＝26°，
∴∠F＝13°．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为________．
【答案】．
【解析】∵AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝BC＝；
7．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是________．
【答案】5＜x＜10．
【解析】依题意有等腰三角形的底边长为：（20﹣2x）cm，
又，
解得：5＜x＜10．
8．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P．
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数．
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC，
∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，
∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°；
（2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠F+∠FEC＝2∠A＝2∠ABP．
考点12：等腰三角形的判定
1．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，
则x+x+y＝21，
即①y＝21﹣2x＞0，
所以②x+x＞21﹣2x，
解①②得：5＜x＜10.5，
所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，
故选：A．
2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（ ）
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
【答案】B
【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；
B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，
C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；
D、有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是100°，当80°的外角和100°的内角构成平角时，另外两个内角可以是40°和40°，可以构成等腰三角形．
故选：B．
3．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（ ）
①∠AEG＝∠AGE；②BH＝CH；③∠EAG＝2∠EBC；④S△ACF＝S△BCF．
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】∵BE是角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵∠AEG＝∠ACB+∠CBE，∠AGE＝∠CAD+∠ABE，
∴∠AEG＝∠AGE，故①正确；
根据已知条件不能推出∠HCB＝∠HBC，即不能推出BH＝CH，故②错误；
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∴∠CAD＝2∠EBC，
即∠EAG＝2∠EBC，故③正确；
∵CF是中线，
∴AF＝BF，
∴S△ACF＝S△BCF（等底等高的三角形的面积相等），故④正确．
故选：C．
5．若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝________cm时，△ABC为等腰三角形．
【答案】故答案是：8cm或5cm或2．
【解析】∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，
∴BC+AC＝10cm．
①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．
③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．
6．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝________．
【答案】0．
【解析】当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，
所以PO＝PA不存在，
AP＝AO也不存在，
所以A点在x轴上，此时m＝0．
7．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为________三角形．
【答案】等腰．
【解析】∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
8．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵∠C＝32°，
∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠C＝148°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝＝74°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ABC＝37°，
∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．
考点13：等腰三角形的判定与性质
1．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
【答案】A
【解析】∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB＝6，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE．若DE＝3.5cm，AB＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】C
【解析】∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，
∴∠ABD＝∠GBD，∠ADB＝∠GDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝GB＝4cm，AD＝GD，
∵E为AC的中点，
∴DE是△AGB的中位线，
∴CG＝2DE＝7cm，
∴BC＝BG+CG＝4+7＝11cm，
故选：C．
3．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
【答案】B
【解析】∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF，
∵∠1＝∠BEF，
∴CD∥AB，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴∠GEF＝∠EGF，
∴△EFG是等腰三角形，
∴FG＝EF＝3，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为（ ）
A．10 B．5.5 C．6 D．5
【答案】D
【解析】∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝MB，NE＝NC，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝2+3＝5，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有________．（填正确的序号）
【答案】①②③⑤．
【解析】①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠BFD，∠BCF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，
∴①选项正确，符合题意；
②∵DE＝DF+FE，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴DE＝DB+CE，
∴②选项正确，符合题意；
③∵△ADE的周长为＝AD+DE，
∵DE＝DB+CE，
∴△ADE的周长为＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，
∴③选项正确，符合题意；
④根据题意不能得出BF＞CF，
∴④选项不正确，不符合题意；
⑤∵若∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，
∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，
∴⑤选项正确，符合题意；
6．如图，在△ABC中，BC＝30，CA＝40，AB＝50，D、E是△ABC内两点，满足AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，DE∥AB，且DE＝10，则△CDE的面积为________．
【答案】80．
【解析】如图，作直线DE交AC于N，交BC于M，过点C作CK⊥AB于K，交MN于H．
∵AC＝40，BC＝30，AB＝50，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵CK⊥AB，
∴S△ACB＝ AC BC＝AB CK，
∴CK＝24，
∵MN∥AB，
∴∠MEB＝∠EBA，
∵EB平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠EBM，
∴∠MEB＝∠MBE，
∴ME＝MB，
同法NA＝ND，
设ME＝MB＝x，NA＝ND＝y，则CN＝40﹣y，CM＝30﹣y，
∵MN∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝10，y＝，
∴CM＝20，
∵△CNM∽△CBA，
∴＝，
∴CH＝16，
∴S△CDE＝ DE CH＝×10×16＝80．
7．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是________．
【答案】40°、70°或100°．
【解析】当BC＝CD时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝40°，
当BD＝BC时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝70°．
当DB＝DC时，如图所示，
∵∠A＝20°，AB＝AC，
∴∠ABC＝80°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBD＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠BDC＝100°，
8．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
所以∠EBO＝∠OBC＝，∠FCO＝∠OC＝，
又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；
（2）∵∠BOC＝130°，
∴∠1+∠2＝50°，
∵∠1：∠2＝3：2，
∴，，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．
考点14：等边三角形的性质
1．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是：（ ）
A．①﹣﹣不等边三角形 B．②③﹣﹣等腰三角形
C．③﹣﹣等边三角形 D．②③﹣﹣等边三角形
【答案】D
【解析】由图可得：
①2≠3≠4，故①﹣﹣不等边三角形，故A选项不符合题意；
②3＝3≠4，故②﹣﹣等腰三角形，③3＝3＝3，故③﹣﹣等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
2．等边三角形的边长为6，则它的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36a D．18
【答案】A
【解析】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴BD＝CD＝＝3，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∴△ABC的面积是＝＝9，
故选：A．
3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥AB；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF；⑤∠MNG＝∠ACN．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CE＝BC，F是AC的中点，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，
故①正确；
②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，
∴FG＝x，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，
∴GF＝EF，
故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
等边三角形ABC，∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，
故③正确；
④∵MN是BG的垂直平分线，
∴BM＝MG＝x，
∴AM＝x+x＝x，
等边△ABC中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴MN＝，
∴GN＝＝＝≠FG，
故④不正确；
⑤∵BN＝CN＝NG，
∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，
∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，
∵MG＝x，MN＝x，
∴MG≠MN，
∴∠NGM≠∠MNG，
∴∠MNG≠∠ACN，
故⑤不正确；
其中正确的有：①②③，一共3个，
故选：B．
4．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是________．
【答案】2+2，
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在AB为直径的圆上，
∵S△ABC＝AC×BC＝×AB×CE，
∴当CE＝AB＝2时，S△ABC有最大值，
∴AC×BC的最大值为8，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴∠DCH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DH＝CD，CH＝CD，
∵BD2＝DH2+BH2，AB2＝AC2+BC2＝16，
∴BD2＝CD2+（BC+CD）2＝AC2+BC2+AC2+BC AC＝16+BC AC，
∴BD2的最大值为16+8，
∴BD的最大值为2+2，
6．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为________．
【答案】40°．
【解析】如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，
∵直线l∥m，
∴l∥m∥n，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，
∴∠1＝40°．
7．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在CD的同侧，若AB＝4，BE的长为________．
【答案】4．
【解析】∵△ABD和△DCE是等边三角形，
∴BD＝AD，ED＝CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4，
在△ACD和△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
在△BED和△ACD中，，
∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE＝AC＝4，
8．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
【答案】见解析
【解析】（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣30°
＝90°；
（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣15°
＝105°；
（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD
＝60°+60°+10°
＝130°；
（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．
考点15：等边三角形的判定
1．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，
（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD BC
【答案】D
【解析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；
∴O为BC中点，
∴AO是△BAC的中线，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；
∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC DO+BC AO＝BC AD，故D选项错误，
故选：D．
2．若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故选：B．
3．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（ ）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
【答案】D
【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，
∵∠BAC＝60°，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，④正确．
故选：B．
5．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝________．
【答案】1﹣．
【解析】过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵点P（a，b）在第一象限，
∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，
∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，
∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝BP＝PA＝5，
由PN2+BN2＝BP2＝PA2＝PM2+AM2得，
b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，
由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，
将b＝代入a2+（b﹣3）2＝25，整理得，4a2﹣16a﹣11＝0，解得a＝，或a＝＜0（舍去），
把a＝代入①得，b＝，
∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，
6．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有________（填序号）．
【答案】①②③④．
【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
7．如图，把边长为acm的等边△ABC剪成四部分，从三角形三个顶点往下bcm处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边△DEF．若△DEF的面积是△ABC的，则的值为________．
【答案】．
【解析】延长ED交AB于H，设AB与FD的交点为G，AC与DE的交点为P，
∵∠HGD＝30°，
∴AH＝（a﹣b），PH＝（a﹣b），
∴HG＝AH﹣AG＝a﹣b，
∴DH＝HG＝a﹣b，DG＝2DH＝a﹣b，
∴DE＝PH﹣DH﹣PE＝PH﹣DH﹣DG＝b，
∵△ABC与△DEF是等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴的值为，
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【解答】证明：
证法一：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝60°，
在△ABC中，
∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴△ABC是等边三角形；
证法二：∵CD∥AB，
∴∠B+∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACB＝60°
在△ABC中，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°
∴∠A＝∠B＝∠ACB．
∴△ABC是等边三角形．
考点16：等边三角形的判定与性质
1．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵等边三角形边长为2，BD＝CD，
∴BD＝，CD＝，
∵等边三角形ABC中，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴DE⊥BE，
∴BE＝BD＝，DE＝，
如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，
∵∠FDC＝∠FCD＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF＝，
∴CM垂直平分DF，
∴∠DCN＝30°，DN＝FN，
∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，
∵M为EF的中点，
∴MN＝DE＝，
∴CM＝CN+MN＝+＝，
故选：C．
2．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；
∴CD＝BD，
∵AD＝CD，
∴CD＝AB；故②正确；
∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴CF＝DF，
∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．
故选：B．
4．关于等边三角形，下列说法中错误的是（ ）
A．等边三角形中，各边都相等
B．等腰三角形是特殊的等边三角形
C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【解析】A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、等边三角形是特殊的等腰三角形，此选项错误；
C、两个角都等于60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项正确；
故选：B．
5．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为________．
【答案】200m．
【解析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M．
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝60°，
△ABC是等边三角形，
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH，
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m．
6．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝________米．
【答案】48．
【解析】∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝48米，
∴AC＝48米．
7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．
【答案】6．
【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
8．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【答案】见解析
【解析】（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，
可得∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
