8.4 变力做功问题
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学习目标
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课程标准 学习目标
1．理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。 2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。 1、会利用功能关系解决变力做功问题。 2、会利用利用图像法处理变力做功问题。 3、会微元法解决变力做功问题。 4、能利用P-t法解决变力做功问题。
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2
预习导学
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课前研读课本，梳理基础知识：
一、求变力做功的五种方法
1.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为 ，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的 所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
2.化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换 ，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于 通过定滑轮拉物体做功的问题中。
3.利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移 时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcos α求此变力所做的功。
4.利用F-x图像求变力做功
在F -x图像中，图线与x轴所围“ ”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为 ，位于x轴下方的“面积”为 ，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
5.利用动能定理求变力做功
利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，尤其对于 运动或 做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
二、恒力做功
1．看位移
2．看力方向上的位移
（二）即时练习：
【小试牛刀1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR
C.πFR D.2πFR
【小试牛刀2】如图所示，某同学用细线吊着质量为m的小球做圆锥摆运动，摆长为L，摆线与竖直方向的夹角θ＝30°，若该同学通过细线对小球做功，使摆线与竖直方向的夹角增大为60°，小球仍做圆锥摆运动，重力加速度为g。此过程保持悬点的高度不变，则该同学通过细线对小球做的功为( )
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
【小试牛刀3】一物体在水平拉力F的作用下沿水平面运动。已知拉力F随物体运动位移x的变化情况如图所示。则在0～8 m的运动过程中，拉力F做的功为( )
A．6 J B．18 J C．20 J D．22 J
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题型精讲
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【题型一】微元法与等效替代法
【典型例题1】(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功为240 J
B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 J
D．摩擦力做功约为136.8 J
【典型例题2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的水平距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)拉力F的大小；
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
【对点训练1】[多选]如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
【对点训练2】(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则( )
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程，轻绳对滑块所做的功为mgd
D．滑块由A到C过程，轻绳对滑块所做的功为mgd
【题型二】功能关系与图像法
【典型例题3】如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【典型例题4】如图(a)，一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图(b)所示。已知AB段长度为2 m，滑块质量为2 kg，滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)当拉力为10 N时，滑块的加速度大小；
(2)滑块第一次到达B点时的动能；
(3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
【对点训练3】用传感器研究质量为2 kg 的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是( )
A.0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0～6 s内物体在4 s时的速度最大
C.物体在2～4 s内速度不变
D.0～4 s内合力对物体做的功等于0～6 s内合力对物体做的功
【对点训练4】(多选)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图所示。下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
A．0～6 s内拉力做的功为140 J
B．物体在0～2 s内所受的拉力为4 N
C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
【题型三】涉及弹簧、摩擦力的变力做功问题
【典型例题5】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【典型例题6】如图所示，传送带通过滑道将长为L、质量为m的匀质物块以初速度v0向右传上水平台面，物块前端在台面上滑动s后停下来。已知滑道上的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦因数为μ，且s＞L，则物块在整个过程中克服摩擦力所做的功为( )
A．μmg B．μmgs
C．μmg D．μmg(s－L)
【对点训练5】[多选]如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中，( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【对点训练6】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
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体系构建
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分析方法及案例
方法 以例说法
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从位置A拉到位置B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
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记忆清单
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方法1 利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
方法2 用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
方法3 用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
方法4 “转化法”求变力做功
通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题。
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强化训练
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1．如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)．用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功．
2.一同学将地面上一质量m＝400 g的足球沿与水平方向成θ＝45°角踢出，足球与脚分开时的速度大小为10 m/s，不计空气阻力，足球可看做质点，重力加速度g＝10 m/s2。则该同学踢球时对足球做的功为( )
A.200 J B.100 J
C.20 J D.10 J
3.在光滑水平面上，有一质量为10 kg的滑块，在变力F的作用下沿x轴做直线运动，F-x关系如图所示，4～8 m和12～16 m的两段曲线关于坐标点(10,0)对称。滑块在坐标原点处速度为1 m/s，则滑块运动到16 m处的速度大小为( )
A．3 m/s B．5 m/s
C．2 m/s D．4 m/s
4.如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物体缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面的高度为h。求绳子的拉力F′对物体做的功。(绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计)
5.某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。
6.如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为Ff，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时的加速度大小a.
7.如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
8．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
9.如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段用时15s，对应的v t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f1的大小。
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
(3)BC路段的长度。
10．在篮球比赛中，某位同学获得罚球机会，如图，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.6 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该同学罚球时对篮球做的功大约为( )
A.1 J B.10 J
C.50 J D.100 J
11．如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为( )
A. B．2 C. D．4
12.如图所示，飞机先在水平跑道上从静止开始加速滑行，行驶距离x＝600 m后达到v1＝216 km/h的速度起飞，飞机滑行过程可视为匀加速直线运动，所受阻力大小恒为自身重力的0.1倍。起飞后，飞机以离地时的功率爬升t＝20 min，上升了h＝8 000 m，速度增加到v2＝720 km/h。已知飞机的质量m＝1×105 kg，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)飞机在地面滑行时所受牵引力的大小F；
(2)飞机在爬升过程中克服空气阻力做的功Wf。
13.(多选)如图所示，一固定竖直轨道由半径为R的四分之一圆弧AB、长度为L的水平直轨道BC和半径为r的四分之一圆弧CD构成，BC与两圆弧分别相切于B点和C点。质量为m的物块从A点由静止释放，恰好能到达D点，已知物块在圆弧AB上克服摩擦力做的功为W1，在圆弧CD上克服摩擦力做的功为W2，重力加速度大小为g，则物块与水平直轨道的动摩擦因数μ和在C点的向心加速度a大小分别为( )
A．μ＝＋ B．μ＝－
C．a＝2g＋ D．a＝2g＋
14.(多选)如图甲所示，长为l、倾角为α的斜面固定在水平地面上，一质量为m的小物块从斜面顶端由静止释放并沿斜面向下滑动，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ与下滑距离x的变化图像如图乙所示，则( )
A．μ0＞tan α
B．小物块下滑的加速度逐渐增大
C．小物块下滑到斜面底端的过程中克服摩擦力做的功为μ0mglcos α
D．小物块下滑到底端时的速度大小为
15.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A.mv－μmg(s＋x) B.mv－μmgx
C.μmgs D.μmg(s＋x)
16．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A.3.1 J B.3.5 J
C.1.8 J D.2.0 J
17.如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化．该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为( )
A. B.
C．ρgL2 D．ρgL48.4 变力做功问题
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学习目标
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课程标准 学习目标
1．理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。 2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。 1、会利用功能关系解决变力做功问题。 2、会利用利用图像法处理变力做功问题。 3、会微元法解决变力做功问题。 4、能利用P-t法解决变力做功问题。
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预习导学
)
课前研读课本，梳理基础知识：
一、求变力做功的五种方法
1.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
2.化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
3.利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcos α求此变力所做的功。
4.利用F-x图像求变力做功
在F -x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
5.利用动能定理求变力做功
利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
二、恒力做功
1．看位移
2．看力方向上的位移
（二）即时练习：
【小试牛刀1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR
C.πFR D.2πFR
答案 C
解析 把槽道分成x1、x2、x3、…、xn微小段，拉力在每一段上可视为恒力，则在每一段上做的功W1＝F1x1，W2＝F2x2，W3＝F3x3，…，Wn＝Fnxn，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝F(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝F(π·＋πR)＝πFR。故选项C正确。
【小试牛刀2】如图所示，某同学用细线吊着质量为m的小球做圆锥摆运动，摆长为L，摆线与竖直方向的夹角θ＝30°，若该同学通过细线对小球做功，使摆线与竖直方向的夹角增大为60°，小球仍做圆锥摆运动，重力加速度为g。此过程保持悬点的高度不变，则该同学通过细线对小球做的功为( )
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
解析：选A 锥角未变化前，运动半径为r＝L，细线的拉力和重力的合力充当向心力，故F＝mgtan 30°＝m，解得v12＝gLtan 30°＝gL，悬点到小球运动平面的高度为h1＝L。锥角变化后，小球的运动半径r＝L，根据牛顿第二定律可得F′＝mgtan 60°＝m，解得v22＝gLtan 60°＝gL，悬点到小球运动平面的高度为h2＝L，故细线对小球做功为W＝ΔEk＋ΔEp＝m(v22－v12)＋mg(h1－h2)＝mgL，故选A。
【小试牛刀3】一物体在水平拉力F的作用下沿水平面运动。已知拉力F随物体运动位移x的变化情况如图所示。则在0～8 m的运动过程中，拉力F做的功为( )
A．6 J B．18 J C．20 J D．22 J
[解析] 0～2 m力F做功W1＝F1x1＝4 J；2～4 m 力F做功W2＝F2x2＝－2 J；4～8 m力F做功W3＝F3x3＝16 J；这个运动过程中F做的总功为W＝W1＋W2＋W3＝18 J，B正确，A、C、D错误。
[答案] B
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题型精讲
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【题型一】微元法与等效替代法
【典型例题1】(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．重力做功为240 J
B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 J
D．摩擦力做功约为136.8 J
[解析] 物块重力做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A错误；支持力始终与运动方向垂直，支持力不做功，故B正确；将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn，拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，则W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°、…、Wn＝Flncos 37°，WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J，故C正确；因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理得WF＋WG＋Wf＝0－0，解得Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J，故D错误。
[答案] BC
【典型例题2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的水平距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)拉力F的大小；
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
答案 (1)mg (2)mgd
解析 (1)滑块运动到C点时速度最大，则在C点有
Fcos 53°＝mg
解得F＝mg。
(2)由能量守恒可知，拉力F对绳端点做的功就等于绳的拉力F对滑块做的功
滑轮与A间绳长L1＝
滑轮与C间绳长L2＝
则滑轮右侧绳子增加的长度
ΔL＝L1－L2＝－＝
故拉力做的功W＝FΔL＝mgd。
【对点训练1】[多选]如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
[解析] 摆球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻·πL，C错误，D正确。
[答案] ABD
【对点训练2】(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则( )
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程，轻绳对滑块所做的功为mgd
D．滑块由A到C过程，轻绳对滑块所做的功为mgd
[解析] 滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故A正确，B错误；拉力F做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，滑轮与A间绳长L1＝，滑轮与C间绳长L2＝，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝－＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误。
[答案] AC
【题型二】功能关系与图像法
【典型例题3】如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】D
【解析】当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得：mgh＝mvA2，解得vA＝，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b及杆系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确．
故选D．
【典型例题4】如图(a)，一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图(b)所示。已知AB段长度为2 m，滑块质量为2 kg，滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)当拉力为10 N时，滑块的加速度大小；
(2)滑块第一次到达B点时的动能；
(3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
解析：(1)设小滑块的质量为m，斜面倾角为θ，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块受斜面的支持力大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为10 N时滑块的加速度大小为a。由牛顿第二定律和滑动摩擦力公式有
T＋mgsin θ－f＝ma ①
N－mgcos θ＝0 ②
f＝μN ③
联立①②③式并代入题给数据得a＝7 m/s2。 ④
(2)设滑块在AB段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有W＝T1s1＋T2s2⑤
式中T1、T2和s1、s2分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，T1＝8 N，s1＝1 m，T2＝10 N，s2＝1 m。设滑块第一次到达B点时的动能为Ek，由动能定理有 W＋(mgsin θ－f)＝Ek－0⑥
联立②③⑤⑥式并代入题给数据得Ek＝26 J。 ⑦
(3)由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B点时，动能仍为Ek。设滑块离B点的最大距离为smax，由动能定理有－(mgsin θ＋f)smax＝0－Ek⑧
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得smax＝1.3 m。⑨
答案：(1)7 m/s2 (2)26 J (3)1.3 m
【对点训练3】用传感器研究质量为2 kg 的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是( )
A.0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0～6 s内物体在4 s时的速度最大
C.物体在2～4 s内速度不变
D.0～4 s内合力对物体做的功等于0～6 s内合力对物体做的功
答案 D
解析 由Δv＝at可知，a－t图像中，图线与坐标轴所围面积表示质点的速度的变化量，0～6 s内物体的速度始终为正值，故运动方向一直为正方向，A项错误；t＝5 s时，加速度为零，速度最大，B项错误；2～4 s内加速度保持不变且不为零，速度一定变化，C项错误；0～4 s内与0～6 s内图线与坐标轴所围面积相等，故物体4 s末和6 s末速度相同，由动能定理可知，两段时间内合力对物体做功相等，D项正确。
【对点训练4】(多选)放在粗糙水平地面上质量为0.8 kg的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图所示。下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
A．0～6 s内拉力做的功为140 J
B．物体在0～2 s内所受的拉力为4 N
C．物体与粗糙水平地面间的动摩擦因数为0.5
D．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
[解析] 由于P-t图像与t轴围成的面积表示拉力所做的功，所以0～6 s内拉力做的功为W＝×2×60 J＋4×20 J＝140 J，故A正确；由水平拉力的功率P＝Fv可得，在0～2 s内拉力F＝＝6 N,2～6 s，拉力F′＝＝2 N，故B错误；物体在水平面上只受摩擦力和拉力，在2～6 s内物体受力平衡可得f＝μmg＝F′，解得μ＝＝＝0.25，故C错误；由v-t图像可知，物体在2 s末的速度与6 s末的速度相等，由动能定理W合＝ΔEk可知，0～6 s与0～2 s动能的变化量相同，所以合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等，故D正确。
[答案] AD
【题型三】涉及弹簧、摩擦力的变力做功问题
【典型例题5】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【答案】C
【解析】小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始减速运动，所以整个过程中小球先加速后减速运动，根据Ek＝mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做了负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确．
故选C．
【典型例题6】如图所示，传送带通过滑道将长为L、质量为m的匀质物块以初速度v0向右传上水平台面，物块前端在台面上滑动s后停下来。已知滑道上的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦因数为μ，且s＞L，则物块在整个过程中克服摩擦力所做的功为( )
A．μmg B．μmgs
C．μmg D．μmg(s－L)
[解析] 物块在完全滑上台面前，摩擦力由0均匀增大到μmg，完全滑上平台后物块所受摩擦力恒定不变，故整个过程中物块克服摩擦力做功W＝L＋μmg(s－L)＝μmg，故C正确。
[答案] C
【对点训练5】[多选]如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中，( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析：选BCD 在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误；在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确；弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确；由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确。
【对点训练6】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功．由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得
W＝1d＝d①
W＝2d′＝d′②
联立①②式解得d′＝(－1)d，故选B.
(
0
4
体系构建
)
分析方法及案例
方法 以例说法
应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效转换法 恒力F把物块从位置A拉到位置B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
(
0
5
记忆清单
)
方法1 利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
方法2 用F－x图像求变力做功
在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
方法3 用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功.因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
方法4 “转化法”求变力做功
通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题。
(
0
6
0
1
强化训练
)
1．如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)．用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中：
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功．
答案 (1)376.8 J (2)－136.8 J
解析 (1)将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn.因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°、…、Wn＝Flncos 37°
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR＝376.8 J.
(2)因为重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，而因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J.
2.一同学将地面上一质量m＝400 g的足球沿与水平方向成θ＝45°角踢出，足球与脚分开时的速度大小为10 m/s，不计空气阻力，足球可看做质点，重力加速度g＝10 m/s2。则该同学踢球时对足球做的功为( )
A.200 J B.100 J
C.20 J D.10 J
答案 C
解析 由题意可知，足球离开脚时的速度为10 m/s，而脚踢球时只有脚对足球做功，由动能定理可得W＝mv2＝×0.4×102 J＝20 J，故C正确，A、B、D错误。
3.在光滑水平面上，有一质量为10 kg的滑块，在变力F的作用下沿x轴做直线运动，F-x关系如图所示，4～8 m和12～16 m的两段曲线关于坐标点(10,0)对称。滑块在坐标原点处速度为1 m/s，则滑块运动到16 m处的速度大小为( )
A．3 m/s B．5 m/s
C．2 m/s D．4 m/s
解析：选A 图像与坐标轴围成的面积表示变力F做的功，所以根据动能定理得W＝10×4 J＝mv2－mv02，解得v＝3 m/s。
4.如图所示，某人用大小不变的力F通过滑轮拉着放在水平面上的物体缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距地面的高度为h。求绳子的拉力F′对物体做的功。(绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计)
答案 Fh－
解析 在物体向右运动的过程中，绳子的拉力是一个变力(F′方向改变)，但拉力F′的作用效果与恒力F的作用效果相同，因此绳子的拉力F′对物体做的功等于力F所做的功。
由题图可知，力F的作用点移动的位移大小为
l＝－＝h－
则WF′＝WF＝Fl＝Fh－
5.某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1=30°,α2=37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。
答案：50J
6.如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为Ff，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时的加速度大小a.
答案 (1)Ffd (2)
(3)－
解析 (1)小船从A点运动到B点克服阻力做功
Wf＝Ffd ①
(2)小船从A点运动到B点，电动机牵引缆绳对小船做功
W＝Pt1 ②
由动能定理有
W－Wf＝mv12－mv02 ③
由①②③式解得v1＝ ④
(3)设小船经过B点时缆绳的拉力大小为F，缆绳与水平方向的夹角为θ，电动机牵引缆绳的速度大小为v，则
P＝Fv ⑤
v＝v1cos θ ⑥
由牛顿第二定律有
Fcos θ－Ff＝ma ⑦
由④⑤⑥⑦式解得a＝－.
7.如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
解析：选A 由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功，A项正确，B项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D项错误。
8．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
解析：选B 物块所受的摩擦力Ff沿木板斜向上，与物块的运动方向垂直，故摩擦力Ff对物块不做功，物块在慢慢移动过程中，重力势能增加了2 J，重力做功－2 J，支持力FN对物块做功2 J，故B正确。
9.如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段用时15s，对应的v t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f1的大小。
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
(3)BC路段的长度。
[解析] (1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有：
F1＝f1
P＝F1v1
解得：f1＝＝N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有：
F2＝f2
P＝F2v2
解得：f2＝＝N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有：
f2－F1＝ma
解得：a＝1 m/s2。
(3)对于汽车在BC路段运动，由动能定理得：
Pt－f2s＝mv22－mv12
解得：s＝68.75 m。
[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
10．在篮球比赛中，某位同学获得罚球机会，如图，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.6 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该同学罚球时对篮球做的功大约为( )
A.1 J B.10 J
C.50 J D.100 J
答案 B
解析 该同学将篮球投出时的高度约为h1＝1.8 m，根据动能定理有W－mg(h－h1)＝mv2，解得W＝7.5 J，故选项B正确。
11．如图所示，在水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着物体从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为( )
A. B．2 C. D．4
答案 B
解析 将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R＝π J，同理可得克服摩擦力做功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为2，故选B.
12.如图所示，飞机先在水平跑道上从静止开始加速滑行，行驶距离x＝600 m后达到v1＝216 km/h的速度起飞，飞机滑行过程可视为匀加速直线运动，所受阻力大小恒为自身重力的0.1倍。起飞后，飞机以离地时的功率爬升t＝20 min，上升了h＝8 000 m，速度增加到v2＝720 km/h。已知飞机的质量m＝1×105 kg，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)飞机在地面滑行时所受牵引力的大小F；
(2)飞机在爬升过程中克服空气阻力做的功Wf。
答案 (1)4×105 N (2)1.898×1010 J
解析 (1)设飞机在地面滑行时加速度的大小为a，由运动学公式得v＝2ax，设滑行过程中所受阻力为F阻，由牛顿第二定律得F－F阻＝ma，联立解得F＝4×105 N。
(2)设飞机离地时的功率为P，由功率的表达式得P＝Fv1，由动能定理得Pt－mgh－Wf＝mv－mv，解得Wf＝1.898×1010 J。
13.(多选)如图所示，一固定竖直轨道由半径为R的四分之一圆弧AB、长度为L的水平直轨道BC和半径为r的四分之一圆弧CD构成，BC与两圆弧分别相切于B点和C点。质量为m的物块从A点由静止释放，恰好能到达D点，已知物块在圆弧AB上克服摩擦力做的功为W1，在圆弧CD上克服摩擦力做的功为W2，重力加速度大小为g，则物块与水平直轨道的动摩擦因数μ和在C点的向心加速度a大小分别为( )
A．μ＝＋ B．μ＝－
C．a＝2g＋ D．a＝2g＋
解析：选BC 设物块在水平直轨道上克服摩擦力做的功为W3，对于ABCD整个过程，由动能定理得：mg(R－r)－(W1＋W2＋W3)＝0，又因为W3＝μmgL，由以上两式联立可解得：μ＝－，故A错误，B正确；由动能定理，对于ABCD整个过程有：mg(R－r)－(W1＋W2＋W3)＝0，对于ABC过程有：mgR－(W1＋W3)＝mvC2－0，由向心加速度公式得：a＝，由以上各式可解得：a＝2g＋，故C正确，D错误。
14.(多选)如图甲所示，长为l、倾角为α的斜面固定在水平地面上，一质量为m的小物块从斜面顶端由静止释放并沿斜面向下滑动，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ与下滑距离x的变化图像如图乙所示，则( )
A．μ0＞tan α
B．小物块下滑的加速度逐渐增大
C．小物块下滑到斜面底端的过程中克服摩擦力做的功为μ0mglcos α
D．小物块下滑到底端时的速度大小为
解析：选BC 小物块在斜面顶端静止释放能够下滑，则满足mgsin α＞μ0mgcos α，即μ0＜tan α，故A错误；根据牛顿第二定律得a＝＝gsin α－μgcos α，下滑过程中μ逐渐减小，则加速度a逐渐增大，故B正确；由题图乙可知μ＝－x＋μ0，则摩擦力Ff＝μmgcos α＝－x＋μ0mgcos α，可知Ff与x成线性关系，如图所示，
其中Ff0＝μ0mgcos α，图线和横轴所围成的面积表示克服摩擦力做的功，则小物块下滑到斜面底端的过程克服摩擦力做功Wf＝Ff0l＝μ0mglcos α，故C正确；下滑过程根据动能定理得mglsin α－Wf＝mv2－0，解得v＝，故D错误。
15.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
A.mv－μmg(s＋x) B.mv－μmgx
C.μmgs D.μmg(s＋x)
答案 A
解析 根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wf＝μmg(s＋x)，由功能关系可得W弹＋Wf＝mv，W弹＝mv－μmg(s＋x)，故选项A正确。
16．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A.3.1 J B.3.5 J
C.1.8 J D.2.0 J
答案 A
解析 物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图像与x轴所围面积表示功，可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ff x＝0.4 J。由于物块运动至x＝0.4 m处时，速度为0，由功能关系可知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。
17.如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化．该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为( )
A. B.
C．ρgL2 D．ρgL4
答案 B
解析 设浸入的深度为x，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2x，可见浮力与进入水中的位移成正比．由平均值法知克服浮力做的功为W＝×L＝L＝，故选B.
