北师大版2023-2024学年九年级数学下学期开学摸底考
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下册（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．且
4．如图，将以O为位似中心，扩大到，各点坐标分别为，则点C的坐标为（ ）
⊙
A． B． C． D．
5．在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
7．如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
9．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．已知：如图，是的外接圆，的直径为10，过点作的切线交延长线于点，，，则到的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
11．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，，点D在边上（与B、C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
13．已知一元二次方程有一个解为，则另一个解为 ．
14．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m），AB在阳光下的影长BC＝3（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 米．
15．如图，已如△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则 ．
16．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为 m
17．如图，函数y=x与y=的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作x轴垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，，以AB为直径的分别与BC，AC交于点D，E，过点D作，垂足为点F，若的半径为，，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。
19．计算：．
20．为了解学校落实“双减”政策情况，教育局到某校九年级随机对部分学生就课后作业量做了问卷调查，将调查平均每天完成作业时间分成四类，A：90分钟以内．B：90-120分钟；C：120-150；D：150分钟以上；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查一共调查了________名同学、其中D类扇形的圆心角为_______度；
(2)将上面的条形统计图补充完整；
(3)为了解作业设置科学合理性，调查人员想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．某学校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如左图），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节（如右图），已知探测最大角为62.3°，探测最小角为26.6°，若要求测温区域的宽度AB为2.80m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为，，E为x轴负半轴上一点，且．
(1)求一次函数的解析式；
(2)延长AO交双曲线于点D，连接CD，求的周长．
23．随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)可以围成的菜地面积最大是多少？
24．如图，是的外接圆，是的直径，点D在的延长线上，交的延长线于点C，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
25．如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，．
①求的值；
②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
26．已知抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．
(1)若抛物线的对称轴为直线，则_______．
(2)如图1，若抛物线与直线有且只有一个交点E，当时，求的度数．
(3)如图2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点D的纵坐标为，点P的坐标为，点P以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，6秒后停止运动，设运动时间为t（）．连接，过点P作的垂线交y轴于点R，求在点P的整个运动过程中，点R运动的路径长．
()
北师大版2023-2024学年九年级数学下学期开学摸底考
选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C C A A D B D C C D
填空题：本题共6小题，共18分。
13． 14:.8 15:4：9 16:9 17：8 18：
三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。
19：【答案】13
【详解】解：
=
=
=
=
=．
20．【答案】(1)；(2)见解析(3)
【详解】（1）解：（人）；
，．
本次调查一共调查了名同学，其中类扇形的圆心角为．
（2）解：类女生：（人）；
类男生：（人）．
补全条形统计图如下：
（3）解：列出所有等可能的结果如下：
类 类 男 女 女
男 男男 男女 男女
女 男女 女女 女女
共有种等可能的结果，其中恰好是一男一女的有种情况，
．
21．【答案】该设备的安装高度OC约为1.9米
【分析】设，由锐角三角函数定义得，，根据列出方程，求解未知数得到的长后即可求出．
【详解】解：设，
在中，，∴
在中，，，
根据题意可知：，
∴，解得：（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.9米．
22． 【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：过A作x轴的垂线交x轴于点M，
在中，，，
设，，，
解得，
，，
．
反比例函数经过点，
，，反比例函数解析式为．
又反比例函数经过点，
，即．
一次函数经过，，
，
解得，
一次函数解析式为．
（2）解：反比例函数的图象为中心对称图形，
，．
一次函数与x轴交于C点，
．
又，
，，
．
23．【答案】(1) (2)
【详解】（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜园的面积能达到时的长为．
（2）设菜园的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
答：菜园的最大面积是．
24． 【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）解：证明：如下图，连接OE，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）由（1）知，
，
，
，
，
，解得：，
，
在中，由勾股定理，得，
的长为．
25．
【答案】(1)见解析 (2)①；②t的最小值为3
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵关于的对称图形为，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴为中位线，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴， ，
∴，
在中，
∴
②由题意得：点Q的运动时间
如答图2中，连接，过点P作于H，
由①，得
过点O作于M．如答图2
根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，
t有最小值，t的最小值为的值，
又
所以t的最小值为3．
26． 【答案】(1)(2)；(3)点运动路径的长为．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
经检验，是方程的解，
；
故答案为：；
（2）解：过作轴于，如图：
抛物线与直线有且只有一个交点，
有两个相等实数解，即有两个相等实数解，
△，即，
，
的解为，
∴，
，，
在中，令得，
，
，，
∴， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，
顶点，
根据题意，从开始，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，6秒后停止运动，
最终运动到点；
过点作直线的垂线，垂足为点，交轴于点，连接，
①点在轴左侧，此时点在点的上方，当点的坐标为时，点的位置最高，如图：
，，
，
，
，，
，，，
，
；
②当点在轴右侧且在直线左侧，此时点的最低位置在点下方，如图：
同理可得，
，
，
设，则，
当时，的最大值为，
，
③当点在直线右侧，则点在点的上方，当点坐标为时，点的位置最高，如图：
同理可得，
，
，
，
，
点运动路径的长为定点．
()
北师大版2023-2024学年九年级数学下学期开学摸底考
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上下册（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．广东省2021年高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“地理、生物”的有2种，
她在“2”中选地理、生物的概率是，
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
又∵(m－1)x2＋2x-1＝0是一元二次方程，
∴m－1≠0，即m≠1，
综合知，m的取值范围是m≥0且m≠1，
故选C．
4．如图，将以O为位似中心，扩大到，各点坐标分别为，则点C的坐标为（ ）
⊙
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出位似比，得到，即点为的中点，即可求出点的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将以O为位似中心，扩大到，
∴，
∴，即点为的中点，
∵，
∴；
故选C．
5．在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．
【详解】如图所示：
∵在中，，
∴，
故选：A．
6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【详解】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故选A．
7．如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，过点作，交于，通过证明，可求，通过证明，可求，即可求，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．如图，点P为外一点，为的切线，A为切点，交于点B．，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】B
【分析】直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出关于半径的方程，再利用勾股定理即可确定的长度．
【详解】解：如图所示：连接，设，则，
∵为的切线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解．
【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
10．已知：如图，是的外接圆，的直径为10，过点作的切线交延长线于点，，，则到的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接，过点作于，过点作于，如图，根据垂径定理得到，再根据切线的性质得到，接着证明，然后利用相似比求出即可．
【详解】解：连接，过点作于，过点作于，如图，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
即到的距离为．
故选：C．
11．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的顶点坐标和对称性可得到抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下可判断①；根据对称轴方程可得到，进而可判断②；根据顶点坐标公式可判断③；由函数的最大值结合图像可判断④．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故③正确；
∵该函数的最大值为，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
12．如图，，点D在边上（与B、C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
①正确；
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
，
∴②正确；
∵，
∴，
∴③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴④正确；
∴正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
13．已知一元二次方程有一个解为，则另一个解为 ．
【答案】
【分析】先把代入得，求得，再解方程即可得到答案．
【详解】解：∵有一个解为，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，，
即另一个解为，
故答案为：
14．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m），AB在阳光下的影长BC＝3（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为 米．
【答案】8
【分析】连接，，根据平行投影的性质得，根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长.
【详解】解：如图，连接AC ，DF，根据平行投影的性质得DF∥AC，
，
，
，
，
，
.
故答案为：8.
15．如图，已如△ADE∽△ABC，且AD：AB=2：3，则 ．
【答案】4：9
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB=2：3，
∴．
故答案为：4：9．
16．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，他在17：00时测量树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为 m
【答案】9
【分析】设 再利用锐角三角函数分别求解 再列方程解方程可得答案．
【详解】解：设AB＝x，在Rt△ABC中，由∠ACB＝60°
在Rt△ABD中，由∠ADB＝30°
则CD＝BD－BC＝x－x＝6，
则可得树的高度AB＝9m
故答案为：
17．如图，函数y=x与y=的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作x轴垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为 ．
【答案】8
【分析】设的坐标是，则的坐标是，根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：设的坐标是，则的坐标是，
则，．
则四边形的面积．
故答案是：8．
18．如图，在△ABC中，，以AB为直径的分别与BC，AC交于点D，E，过点D作，垂足为点F，若的半径为，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接OE，则阴影部分面积为扇形AOE的面积减去三角形AOE的面积，分别求出扇形AOE的面积和三角形AOE的面积，再相减即可．
【详解】解：如图，连接OE，过O作OG⊥AE于点G
∵，
∴，
∵，
在中，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
∵中，，
∴，
在中，
，
∵的半径为，
∴
在中，
∵，，，
∴，，
∵在中，，OG⊥AE，
∴，
∴，
故答案为：
三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题6分，21-23题每题8分，24-26题每题10分。
19．计算：．
【答案】13
【分析】先分别化简锐角三角函数，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算．
【详解】解：
=
=
=
=
=．
20．为了解学校落实“双减”政策情况，教育局到某校九年级随机对部分学生就课后作业量做了问卷调查，将调查平均每天完成作业时间分成四类，A：90分钟以内．B：90-120分钟；C：120-150；D：150分钟以上；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查一共调查了________名同学、其中D类扇形的圆心角为_______度；
(2)将上面的条形统计图补充完整；
(3)为了解作业设置科学合理性，调查人员想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用类学生的人数除以类学生所占比例即为调查的总人数，求出类所占百分比，再求其圆心角度数．
（2）先利用、所占比例求出其人数，再进行作图；
（3）用列表法或树状图法列出所有可能的情况，然后计算其概率．
【详解】（1）解：（人）；
，．
本次调查一共调查了名同学，其中类扇形的圆心角为．
（2）解：类女生：（人）；
类男生：（人）．
补全条形统计图如下：
（3）解：列出所有等可能的结果如下：
类 类 男 女 女
男 男男 男女 男女
女 男女 女女 女女
共有种等可能的结果，其中恰好是一男一女的有种情况，
．
21．某学校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如左图），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节（如右图），已知探测最大角为62.3°，探测最小角为26.6°，若要求测温区域的宽度AB为2.80m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】该设备的安装高度OC约为1.9米
【分析】设，由锐角三角函数定义得，，根据列出方程，求解未知数得到的长后即可求出．
【详解】解：设，
在中，，∴
在中，，，
根据题意可知：，
∴，解得：（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.9米．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为，，E为x轴负半轴上一点，且．
(1)求一次函数的解析式；
(2)延长AO交双曲线于点D，连接CD，求的周长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）过A作x轴的垂线交x轴于点M，利用，，求出，，得出点，利用反比例函数的解析式求出点，再利用待定系数法进行求解；
（2）利用反比例函数的图象关于原点对称的特点得出，及，利用一次函数的额解析式，求出点的坐标，根据，分别算出边长即可求解．
【详解】（1）解：过A作x轴的垂线交x轴于点M，
在中，，，
设，，，
解得，
，，
．
反比例函数经过点，
，，反比例函数解析式为．
又反比例函数经过点，
，即．
一次函数经过，，
，
解得，
一次函数解析式为．
（2）解：反比例函数的图象为中心对称图形，
，．
一次函数与x轴交于C点，
．
又，
，，
．
23．随着劳动教育的开展， 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)可以围成的菜地面积最大是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．
(1) 设，则，依题意列方程计算即可．
(2) 设菜园的面积为，依题意构造二次函数计算即可．
【详解】（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜园的面积能达到时的长为．
（2）设菜园的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
答：菜园的最大面积是．
24．如图，是的外接圆，是的直径，点D在的延长线上，交的延长线于点C，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）先证，得，再证，得，即可得答案；
（2）由（1）知，可得，得，计算得，再求得，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：证明：如下图，连接OE，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）由（1）知，
，
，
，
，
，解得：，
，
在中，由勾股定理，得，
的长为．
25．如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，．
①求的值；
②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②t的最小值为3
【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证；
（2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出， ，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间 ，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵关于的对称图形为，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴为中位线，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴， ，
∴，
在中，
∴
②由题意得：点Q的运动时间
如答图2中，连接，过点P作于H，
由①，得
过点O作于M．如答图2
根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，
t有最小值，t的最小值为的值，
又
所以t的最小值为3．
26．已知抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．
(1)若抛物线的对称轴为直线，则_______．
(2)如图1，若抛物线与直线有且只有一个交点E，当时，求的度数．
(3)如图2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点D的纵坐标为，点P的坐标为，点P以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，6秒后停止运动，设运动时间为t（）．连接，过点P作的垂线交y轴于点R，求在点P的整个运动过程中，点R运动的路径长．
【答案】(1)
(2)；
(3)点运动路径的长为．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，有，即得；
（2）过作轴于，根据抛物线与直线有且只有一个交点，知有两个相等实数解，故△，，可得，在中，得，，故，从而；
（3）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，顶点，从开始，最终运动到点；过点作直线的垂线，垂足为点，交轴于点，连接，①点在轴左侧，此时点在点的上方，当点的坐标为时，点的位置最高，证明，可得，；②当点在轴右侧且在直线左侧，此时点的最低位置在点下方，同理可得，，设，则，有二次函数性质可得的最大值为，故，③当点在直线右侧，则点在点的上方，当点坐标为时，点的位置最高，同理可得，，从而可求点运动路径的长为．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
经检验，是方程的解，
；
故答案为：；
（2）解：过作轴于，如图：
抛物线与直线有且只有一个交点，
有两个相等实数解，即有两个相等实数解，
△，即，
，
的解为，
∴，
，，
在中，令得，
，
，，
∴， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，
顶点，
根据题意，从开始，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，6秒后停止运动，
最终运动到点；
过点作直线的垂线，垂足为点，交轴于点，连接，
①点在轴左侧，此时点在点的上方，当点的坐标为时，点的位置最高，如图：
，，
，
，
，，
，，，
，
；
②当点在轴右侧且在直线左侧，此时点的最低位置在点下方，如图：
同理可得，
，
，
设，则，
当时，的最大值为，
，
③当点在直线右侧，则点在点的上方，当点坐标为时，点的位置最高，如图：
同理可得，
，
，
，
，
点运动路径的长为．
()
