2023-2024学年广东省河源市和平县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的一次项和常数项分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2.下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
3.某旅游景点年月份共接待游客万人次，年月份共接待万人次，设每月旅游人数的平均增长率为，则可列方程( )
A. B. C. D.
4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则等于( )
A. B. C. D.
5.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为，，，，随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积不大于的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.一元二次方程的根是( )
A. ， B.
C. D. ，
9.在正方形网格中，位置如图，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，是边长为的正方形的对角线上的一点，点是的中点，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则 ______．
12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有______个
13.已知为锐角，，则的度数为______．
14.如图，在菱形中，对角线，，则菱形的面积是______．
15.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
16.已知：如图，是等边三角形，延长到，为线段上的一动点不与点、重合，在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论：；；；；结论正确的有______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
如图，在菱形中，，求证：．
21.本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
共有 名学生参与了本次问卷调查；
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
22.本小题分
已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．
求证：∽；
如果，，求的长．
23.本小题分
小明家所在居民楼的对面有一座大厦米，为测量这座居民楼与大厦之间的水平距离的长度，小明从自己家的窗户处测得，平行于地面求小明家所在居民楼与大厦的距离的长度．
参考数据：，，，
24.本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点．
求、两点的坐标和反比例函数的表达式；
连接、，求的面积；
在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．
25.本小题分
问题
如图，在四边形中，点为上一点，当时，求证：．
探究
若将角改为锐角如图，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
应用
如图，在中，，，以点为直角顶点作等腰点在上，点在上，点在上，且，若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一元二次方程的一次项是，常数项是，
故选：．
根据项的定义得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记项的定义是解此题的关键，注意：说项要带着前面的符号．
2.【答案】
【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：．
利用菱形的判定，矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
本题考查了菱形的判定，矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设每月的平均增长率为，依题意得：．
故选：．
本题依题意可知四月份的人数为：，则五月份的人数为：，列方程即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，为增长或减少的百分率．增加用，减少用．
4.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得．
故选：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
5.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的积不大于的结果数为，
所以两次摸出的小球标号的积不大于的概率，
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球标号的积不大于的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
6.【答案】
【解析】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．
故选：．
利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选A．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
9.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长为，则，的对边长为，
．
故选C．
先设小正方形的边长为，然后找个与有关的直角三角形，算出的长，再求出对边的长，即可求出正弦值．
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
10.【答案】
【解析】解：连接，，与交于点，此时最小，为，
正方形中，，为中点，
，
，
故选A．
利用轴对称最短路径求法，得出点关于的对称点为点，再利用连接交于点即为最短路径位置，利用勾股定理求出即可．
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及正方形的性质和勾股定理，利用正方形性质得出、关于对称是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可．
本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，
总的可能有：，，
故答案为：．
根据概率公式求出总数，利用总数减去白球的即可得到答案．
本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
13.【答案】
【解析】解：为锐角，，
，
．
故答案为：．
先根据为锐角及解答即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
14.【答案】
【解析】解：菱形的面积，
故答案为：．
由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：当时，方程化为，解得；
当时，，解得且，
综上所述，的范围为．
故答案为：．
讨论：当时，方程化为，方程有实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16.【答案】
【解析】解：正三角形和正三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；故正确．
≌已证，
，
已证，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
≌已证，
，
，
，
是等边三角形．
，
，
，故正确；
≌，
，
，，
，故正确；
综上分析可知，正确的有．
故答案为：．
根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，所以正确；
由≌得，加上，，得到≌，所以，故正确；
根据≌，再根据，推出是等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，故正确；
根据≌，得出，根据，，得出，故正确．
本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定．
17.【答案】解：，
，
或，
所以，．
【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，可得到两个一元一次方程，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想先变形得到，然后利用因式分解法得出或，解方程即可．
18.【答案】解：原方程可化为：，
或；
解得：，．
【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
19.【答案】解：原式
．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂及特殊三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
又，
，
即．
在和中
≌．
．
【解析】由四边形为菱形，可得，又因为，所以，即可证≌，所以．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：名，
故答案为：；
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：；
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为、、，
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
用“陶艺”的人数除以总人数再乘以，即可求解；
用画树状图法求得概率即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
22.【答案】证明：是等边三角形，
，
，，
∽；
由证得∽，
，
设，则，
，
，，
或．
【解析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识．
是等边三角形，得到，，推出，得到∽；
由∽，得到，然后代入数值求得结果．
23.【答案】解：设米．
在中，，
则，
在中，
，则
，
．
解得：．
答：小明家所在居民楼与大厦的距离的长度是米．
【解析】利用所给角的三角函数用表示出、；根据米，即可求得居民楼与大厦的距离．
本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
24.【答案】解：把、两点的坐标代入，
得，，，
则、．
把代入，得，
反比例函数的表达式为；
一次函数的图象与轴交于点，
，，
、，
；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【解析】把、两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出、的值，再把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值；
求得的坐标，然后根据求得即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标即可得到点坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，是熟练掌握待定系数法，利用割补法，是作出点关于轴的对称点，求得对称点的坐标．
25.【答案】解：证明：如图，，
，
，
，
，
又，
∽，
：：，
；
结论仍成立；
理由：如图，，
又，
，
，
，
又，
∽，
：：，
；
，
，
，
∽，
：：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
∽，
：：，即，
，
，
，
解得．
【解析】由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
由可得，即可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
证明∽，求出，再证∽，可求，进而解答即可．
本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
第1页，共1页
