2023－2024学年安徽省合肥四十六中教育集团八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在象限内的坐标特点求解即可．
【详解】解：点所在的象限是第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
2. 下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的定义：，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数；
（2）是一次函数；
（3）的分母含有自变量x，不是一次函数；
（4）是二次函数，不是一次函数；
（5）是正比例函数，也是一次函数．
是一次函数的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．
3. 小明同学用长分别为5，7，9，13(单位：厘米)的四根木棒摆三角形，用其中的三根
首尾顺次相接，每摆好一个后，拆开再摆，这样可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】确定出摆法，再根据三角形的任意两边之和大于第三边进行判断．
【详解】解：①5，7，9时，能摆成三角形；
②5，7，13时，∵5+7=12＜13，
∴不能摆成三角形；
③5，9，13时，能摆成三角形；
④7，9，13时，能摆成三角形；
所以，可以摆出不同的三角形的个数为3个．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，难点在于按照一定的顺序确定出摆放的方法，方能做到不重不漏．
4. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ）
A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 直角三角形中两个锐角互补 B. 相等的角是对顶角
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D、若|a|=|b|，则a=±b，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
7. 已知坐标平面内，点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为( )
A. B.
C. 或) D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行于轴，得出点的纵坐标为，根据，即可求得的横坐标，进而求解，注意分类讨论．
【详解】解：∵点坐标为，平行于轴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴点的横坐标为：或，
∴点的坐标为：或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
8. 如图，，，于点，于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意证明，得到BE=DC，CE=AD，故可求出BE的长．
【详解】解：，，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
故选A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，
∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，
∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，
∴△AFE为等腰三角形，
∴结论①正确；
∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，
∴∠AMF=90°，
∴∠DBF=∠DAN，
∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，
∴AD=BD，
∴△DBF≌△DAN，
∴DF= DN，AN=BF，
∴结论②③正确；
∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，
∴△BMA≌△BMN，
∴AM=MN，
∴BE是线段AN的垂直平分线，
∴EA=EN，
∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，
∴AD∥EN，
∵AD⊥BC
∴EN⊥NC，
∴结论④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．
10. 小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是（ ）
A. 当时具有最小值为 B. 如果的图象与直线有两个交点，则
C. 当时， D. 的图象与轴围成的几何图形的面积是
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数y═|x|-2的大致图象，即可求解．
【详解】解：函数y═|x|-2的大致图象如下：
A．当x=0时 y具有最小值为-2，正确；
B．如果y=|x|-2的图象与直线y=k有两个交点，则k＞-2，故B错误；
C．当-2＜x＜2时，y＜0，正确；
D．y=|x|-2的图象与x轴围成的几何图形的面积=，正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数，正确画出函数图象是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，共18分）
11. 函数的自变量的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案：且．
12. 已知y=(m-1)xm2 -1是关于x的一次函数，则m为____________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一次函数定义可得m2=1，且m-1≠0，再解出m的值即可．
【详解】解：由题意得：m2=1，且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
13. 函数y＝（k﹣2）x+2k+1的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围为_____．
【答案】﹣＜k＜2．
【解析】
【分析】由函数y=（k-2）x+2k+1的图象经过一、二、四象限，根据一次函数的性质得到k-2＜0，且2k+1＞0，解不等式组即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1的图象经过一、二、四象限，
∴k﹣2＜0，且2k+1＞0，
∴解得﹣＜k＜2．
故答案为﹣＜k＜2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0时，y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0时，y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0时，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
14. 如图，在中，，平分交于点，，，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】过D点作BC边上的高DE，由已知S△BDC=4，BC=8，可求DE，再利用角平分线性质证明AD=DE即可．
【详解】过D点作DE⊥BC，垂足为E，
由S△BDC=4得×BC×DE=4
解得DE=1
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴AD=DE=1．
故答案为 1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．
15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____．
【答案】45°或30°
【解析】
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故答案为：45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
16. 如图，已知在四边形内，，，，，则_____．
【答案】##18度
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到，使得，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共55分）
17. 已知与成正比例，且时．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
（1）根据正比例函数的定义可设设，即，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式；
（2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值．
【小问1详解】
解：与成正比例，
设，
，
当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
把代入得，
解得：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（m﹣4，﹣n+2）
【解析】
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）依据C1移动到原点O的位置，即可得到平移的方向和距离，进而得到平移后的△A2B2C2．
（3）依据轴对称的性质以及平移的性质，即可得到两次变换后点P的对应点P2的坐标．
【小问1详解】
如图所示，△A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图所示，△A2B2C2即为所求；
【小问3详解】
点P（m，n）经过第一次变换后的点P1的坐标为（m，-n），经过第二次变换后的对应点P2的坐标为（m-4，-n+2）．
故答案为：（m-4，-n+2）．
【点睛】本题考查了利用平移变换和轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
19. 如图，已知在和中，交于点，
求证:；
当时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BOC=70°．
【解析】
【分析】（1）求出∠BAE=∠CAF，根据SAS推出△BAE≌△CAF，推出BE=CF即可；
（2）求出∠EBA+∠BDA=110°，求出∠ACF+∠CDO=110°，即可得出答案；
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE=CF；
（2）∵△BAE≌△CAF，
∴∠EBA=∠FCA，
∵∠CAB=70°，
∴∠EBA+∠BDA=180°-70°=110°，
∵∠BDA=∠CDE，∠EBA=∠FCA，
∴∠ACF+∠CDE=110°，
∴∠BOC=180°-（∠ACF+∠CDE）=180°-110°=70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B；
∴DF∥BC．
（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求证：DE=AD+DC；
【答案】（1）60°；（2）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ABC=∠ACB=75°，由DB=DC，∠DCB=30°，根据等腰三角形的性质再求得∠DBC=∠DCB=30°，即可得∠ABD=45°，易证AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD平分∠BAC，即可求得∠BAD=15°，利用三角形外角的性质即可求得∠ADE=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，根据全等三角形的对应边相等和线段的和差即可证得结论.
试题解析：
（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∠ADB=∠AME，∠ABD=∠E，AB=AE，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，
∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD.
点睛：本题主要考查的知识点有：全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的判定及性质，知识点较多，难度中等.
22. 某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，
商品名称
甲
乙
进价（元/件）
80
100
售价（元/件）
160
240
设其中甲种商品购进x件
（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．
①求y与x的函数关系式；
②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．
【答案】（1）购进甲种商品105件，乙种商品95件．
（2）．该商场获得的最大利润为22000元．
（3）商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据数量关系列出关于x的一元一次方程；找出y关于x的函数关系式；根据一次函数的系数分类讨论．
（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，由总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；
（2）①根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；
②根据总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的单调性即可解决最值问题；
（3）根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．
【小问1详解】
甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，根据题意得：，
解得：，
（件）．
答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．
【小问2详解】
①由已知可得：．即
②由已知得：，
解得：，
，在x取值范围内单调递减，
当时，y有最大值，最大值为．
故该商场获得最大利润为22000元．
【小问3详解】
，
即，其中．
①当时，，y随x的增大而减小，
当时，y有最大值，
即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．
②当时，，，
即商场应购进甲种商品的数量满足的整数件时，获利都一样．
③当时，，，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，
即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．2023－2024学年安徽省合肥四十六中教育集团八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 点所在的象限是（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）个
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 小明同学用长分别为5，7，9，13(单位：厘米)四根木棒摆三角形，用其中的三根
首尾顺次相接，每摆好一个后，拆开再摆，这样可摆出不同的三角形的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（ ）
A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
5. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 直角三角形中两个锐角互补 B. 相等的角是对顶角
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 若，则
7. 已知坐标平面内，点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为( )
A. B.
C. 或) D. 或
8. 如图，，，于点，于点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是（ ）
A. 当时具有最小值为 B. 如果图象与直线有两个交点，则
C. 当时， D. 的图象与轴围成的几何图形的面积是
二、填空题（本题共6小题，共18分）
11. 函数的自变量的取值范围是______．
12. 已知y=(m-1)xm2 -1是关于x的一次函数，则m为____________．
13. 函数y＝（k﹣2）x+2k+1的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围为_____．
14. 如图，在中，，平分交于点，，，则__________．
15. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝_____．
16. 如图，已知在四边形内，，，，，则_____．
三、解答题（本题共6小题，共55分）
17. 已知与成正比例，且时．
（1）求与之间函数关系式；
（2）当时，求的值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．
（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为 ．
19. 如图，已知在和中，交于点，
求证:；
当时，求的度数．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．
（1）求∠ADE度数；
（2）求证：DE=AD+DC；
22. 某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，
商品名称
甲
乙
进价（元/件）
80
100
售价（元/件）
160
240
设其中甲种商品购进x件
（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．
①求y与x的函数关系式；
②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．
