2024年中考数学模拟卷（青岛专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
A．将310亿用科学记数法表示为
B．若用科学记数法表示的数为，则其原数为40100
C．近似数2.3与2.30精确度相同
D．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10
3．（本题3分）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，已知，在中，，若，则的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
6．（本题3分）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
7．（本题3分）如图，BC为的直径，AB交于E点，AC交于D点，，，则的度数是（ ）．
A．140° B．100° C．90° D．80°
8．（本题3分）在如图，中，，，的面积为6，与x轴负半轴的夹角为，双曲线经过点A，则k的值为( )
A． B． C． D．
9．（本题3分）抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点．则下列四个结论正确的有（ ）
①；②；③若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长交于点K，若平分，则（ ）
B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）5x3y （﹣3y）2＋（﹣xy） （﹣6xy）3＝ ．
12．（本题3分）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍．若设改良前的平均亩产量为，则可列方程为 ．
13．（本题3分）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ．
14．（本题3分）等腰三角形的边长都是方程的根，则此三角形的周长为 ．
15．（本题3分）如图，在扇形中，，平分交弧于点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 ．
第15题图 第16题图
16．（本题3分）如图，在正方形中，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在正方形内点F处，连接，则的长为 ．
作图题：本题共1小题，共4分。请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．（本题4分）已知：如图，在中，．求作：，使圆心O在斜边上，经过点B且与边相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（本题6分）计算
(1)化简：；
(2)解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
19．（本题6分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9， 4.8， 4.9， 4.6， 4.8， 4.9， 4.9， 5.0， 4.9， 5.1．
九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8， 5.1， 4.7， 5.0， 4.9， 4.8， 5.0， 4.6， 4.8， 5.1．
【整理数据】
（1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数直方图：
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156
九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256
(1)九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的 部分（填A、B、C）；
(2)请补全九年级（2）班视力的频数直方图；
(3)表中b= ；
(4)若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有 人；
(5)根据九年级（1）班、九年级（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由．
20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
（3）直接写出当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围．
21．（本题6分）“爱惜字纸，耕读传家”是客家人的优良传统，有字的纸不能随便乱丢，任意糟蹋，都要集中起来焚烧．洛带古镇修建于光绪六年的字库塔，就是专为人们焚烧字纸提供的场所．在数学活动课上，老师带领学生去测量洛带字库塔的高度．如图，在C处用高0.5米的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进10米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°，求字库塔的高约为多少米？（结果精确到0.1米，）
22．（本题6分）实际问题：有支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛，四个位置可以出现来自同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？
问题探究：
探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
不妨设两支队伍分别为．从①号位开始，我们有2种选择，即队员或队员，②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了，一共有两种不同的安排方法．
探究二：如果有三支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
不妨设三支队伍分别为．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择，即队员、队员或队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：
第一种：若②③号位队员来自同一队伍，则②号位有2种选择，③号只有1种选择，④号位会有2中选择，此时会有种安排方法；
第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有种安排方法．
把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18，一共有18种不同的安排方法．
探究三：如果有四支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法，描述如果有四支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程）
归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍．
（1）如果有支参赛队伍，①号位有 种队员可以选择，②号位有 种队员可以选择．
（2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需化简）；
（3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有 种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法．（结果不需化简）
（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有 种不同的安排方法．（结果不需化简）
23．（本题8分）某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销售，经过市场调查发现一部分数据如下：
销售价格x（元/千克） 40 50 60
月销售量p(千克) 6000 4800 3600
其中，月销售量是关于销售价格的一次函数．
(1)请直接写出p与x之间的一次函数关系
(2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？
(3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点的运费分别为a元/千克（其中），3元/千克，请直接写出最优的调运方案．
24．（本题8分）已知：如图，在ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交边AD、BC于点E、F，过点O的直线GH分别交边AB、CD于点G、H，∠BOF=∠DOH
(1)求证：△GOE≌△HOF；
(2)当AB=BC时，四边形GFHE是什么特殊四边形？请说明理由．
25．（本题10分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标
(3)如图3，连接 ，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由.
26．（本题12分）如图，，B、E、C、L共线，，，，点Q是中点．动点M从点E出发向A运动，连接，动点N从点D出发向C运动，过N作，点M、N均以每秒钟1个单位速度运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点H在的平分线上时，求t的值；
(2)连接、、，设四边形面积为S，求S与t之间的函数关式；
(3)连接，当是等腰三角形时，求t的值；
(4)连接、，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考数学模拟卷（青岛专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
A．将310亿用科学记数法表示为
B．若用科学记数法表示的数为，则其原数为40100
C．近似数2.3与2.30精确度相同
D．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10
【答案】C
【详解】解：A．将310亿用科学记数法表示为，原说法正确，故选项不符合题意；
B．若用科学记数法表示的数为，则其原数为40100，原说法正确，故选项不符合题意；
C．近似数2.3与2.30精确度不同，原说法错误，故选项符合题意；
D．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10，正确，故选项不符合题意；
故选：C．
3．（本题3分）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．（本题3分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，乙图形的主视图看到的是左边是长方形，上面是长方形，交叉处是长方形，
∴符合题意的是B选项，
故选：．
5．（本题3分）如图，已知，在中，，若，则的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】B
【详解】解：延长AC交直线b于点D，
∵a∥b，∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∵∠A=60°，
∴∠2=∠A+∠3=60°+55°=115°，
故选：B．
．
6．（本题3分）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【详解】解：由题意可得如下图形：
∴由图象可知：点A的对应点C的坐标是（﹣1，﹣2）；
故选D．
7．（本题3分）如图，BC为的直径，AB交于E点，AC交于D点，，，则的度数是（ ）．
A．140° B．100° C．90° D．80°
【答案】B
【详解】解：连接BD，CE，OE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴BD⊥CD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CB，
∵∠A＝70°，
∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180° ∠A ∠ACB＝40°，
∴∠BCE＝90° ∠ABC＝50°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝100°．
故选：B．
8．（本题3分）在如图，中，，，的面积为6，与x轴负半轴的夹角为，双曲线经过点A，则k的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作轴于点，
在中，，，
，
设，则，，
由题意可知，，
，，
，
，即，
，
，
．
故选：B．
9．（本题3分）抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点．则下列四个结论正确的有（ ）
①；②；③若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：把，代入，
得，
解得，
∴，
①，则，
故①正确，符合题意；
②，
∵，
∴，即，
故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴，解得： ，
故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程（t为常数，）的根为整数，
∴一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，）的交点横坐标为整数，
如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．
故④正确，满足题意．
故选：C．
10．（本题3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长交于点K，若平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点K作，设，
∵平分，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵
∴，
∴，
故选：C
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）5x3y （﹣3y）2＋（﹣xy） （﹣6xy）3＝ ．
【答案】/
【详解】解：原式
故答案为：
12．（本题3分）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍．若设改良前的平均亩产量为，则可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：∵改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，且改良前平均每亩的产量为，
∴改良后平均每亩的产量为，
根据题意得：．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【详解】解：∵以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，
∴，
在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积：，
∵矩形的面积为2，
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
14．（本题3分）等腰三角形的边长都是方程的根，则此三角形的周长为 ．
【答案】10
【详解】解：，
∴，
解得，
由题意得：这个三角形的三边长分别为或，
（1）当这个三角形的三边长分别为时，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去，
（2）当这个三角形的三边长分别为时，
，
满足三角形的三边关系定理，
∴三角形的周长为；
故答案为：10
15．（本题3分）如图，在扇形中，，平分交弧于点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，
连接交OB于点，连接、，
此时最小，即，
由题意得，，
∴，
∴，
的长，
∴阴影部分周长的最小值为，
故答案为：．
16．（本题3分）如图，在正方形中，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在正方形内点F处，连接，则的长为 ．
【答案】
【详解】如图，连接，交于点
∵正方形中，
∴，
∵E为的中点
∴
∴
∵沿折叠，使点B落在正方形内点F处
∴，
∴，，
∴，
∴
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
作图题：本题共1小题，共4分。请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．（本题4分）已知：如图，在中，．求作：，使圆心O在斜边上，经过点B且与边相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【详解】解：如图，作的角平分线交于，作交于点，以为圆心，为半径画圆，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴边与相切于点．
∴即为所作．
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（本题6分）计算
(1)化简：；
(2)解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
【答案】(1)
(2)原不等式组的解集为，不等式组的整数解之和为6．
【详解】（1）原式
（2）
解①得
解②得
所以，原不等式组的解集为
所以，其整数解有1，2，3
它们的和为
19．（本题6分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9， 4.8， 4.9， 4.6， 4.8， 4.9， 4.9， 5.0， 4.9， 5.1．
九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8， 5.1， 4.7， 5.0， 4.9， 4.8， 5.0， 4.6， 4.8， 5.1．
【整理数据】
（1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数直方图：
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156
九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256
(1)九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的 部分（填A、B、C）；
(2)请补全九年级（2）班视力的频数直方图；
(3)表中b= ；
(4)若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有 人；
(5)根据九年级（1）班、九年级（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由．
【答案】(1)B
(2)见解析
(3)4.8
(4)15
(5)（1）班学生的视力健康情况更何况更好一些，详见解析．
【详解】（1）解：由题意可知，（1）班视力数据中位数为4.9，
即a=4.9，落在B部分；
故答案为：B
（2）补全频数直方图如图所示，
（3）由（2）班视力数据可知，中数为4.8，即b=4.8；
故答案为：4.8
（4）由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05，
故50人中视力在4.85～5.05的人数为：50×0.3=15（人）；
故答案为：15．
（5）由两组数据可知，两班平均数相等，（1）班中位数大于二班，（1）班方差小于（2）班，所以（1）班视力数据较为稳定，
故：（1）班的视力状况更好一些．
20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
（3）直接写出当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）y＝ ，y1＝﹣x﹣1；（2）3；（3）﹣4＜x＜﹣1．
【详解】解：（1）∵A（﹣4，2），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2＝中，得m＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y＝；
将B坐标代入y=，得n＝﹣4，
∴B坐标（2，﹣4），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得解得
∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；
（2）一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2，
令则
则点C的坐标为：
（3）直线y1＝﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），
故当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围为﹣4＜x＜﹣1．
21．（本题6分）“爱惜字纸，耕读传家”是客家人的优良传统，有字的纸不能随便乱丢，任意糟蹋，都要集中起来焚烧．洛带古镇修建于光绪六年的字库塔，就是专为人们焚烧字纸提供的场所．在数学活动课上，老师带领学生去测量洛带字库塔的高度．如图，在C处用高0.5米的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进10米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°，求字库塔的高约为多少米？（结果精确到0.1米，）
【答案】9.2米
【详解】记直线EF与AB的交点为H，如图，
∵∠AEF=30°，∠AFH=60°，
∴∠EAF=∠AFH ∠AEF=30°，
∴AF=EF=10米，
∵EH⊥AB，
∴在Rt△AFH中，（米），
∵EC⊥BC，AB⊥BC，EF⊥EC，
∴四边形ECBH是矩形，
∴BH=EC=0.5米，
∴（米）．
即字库塔的高约为9.2米．
22．（本题6分）实际问题：有支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛，四个位置可以出现来自同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？
问题探究：
探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
不妨设两支队伍分别为．从①号位开始，我们有2种选择，即队员或队员，②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了，一共有两种不同的安排方法．
探究二：如果有三支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
不妨设三支队伍分别为．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择，即队员、队员或队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：
第一种：若②③号位队员来自同一队伍，则②号位有2种选择，③号只有1种选择，④号位会有2中选择，此时会有种安排方法；
第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有种安排方法．
把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18，一共有18种不同的安排方法．
探究三：如果有四支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法，描述如果有四支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程）
归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？
无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍．
（1）如果有支参赛队伍，①号位有 种队员可以选择，②号位有 种队员可以选择．
（2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需化简）；
（3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有 种选择，④号位有 种选择，这样我们就有 种安排方法．（结果不需化简）
（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有 种不同的安排方法．（结果不需化简）
【答案】探究三：48种；归纳探究：（1）；；（2）；；（3）；；；（4）
【详解】解：不妨设为四支队伍，让我们运用上在的方法试试，①号位置有4种队员可以选择，即队员、队员或队员或 队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：
第一种：②③号位队员来自同一队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队友相同，所以③号只有1种选择，④号位就会有3种选择，此时会有：种安排方法；
第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队员不同，③号位只有2种选择，那么④号位只有2种选择，此时会有种安排方法．
把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84，一共有84种不同的安排方法．
归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么有多少种不同的安排方法呢？
无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍．
（1）如果有支参赛队伍，①号位有种队员可以选择，②号位有种队员可以选择；
（2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有种选择，这样我们就有种安排方法（结果不需要化简）；
（3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需要化简）；
（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：种安排方法．
23．（本题8分）某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销售，经过市场调查发现一部分数据如下：
销售价格x（元/千克） 40 50 60
月销售量p(千克) 6000 4800 3600
其中，月销售量是关于销售价格的一次函数．
(1)请直接写出p与x之间的一次函数关系
(2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？
(3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点的运费分别为a元/千克（其中），3元/千克，请直接写出最优的调运方案．
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元；
(3)①时，运往地，运往地，
②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以．
【详解】（1）解：与成一次函数关系，设函数关系式为，
可选择，和，代入，
则：，
解得：，
所求的函数关系为；
（2）解：设月销售利润为元，
，
即，
当时，有最大值，（元
答：这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元；
（3）解：根据（2）得月销量为：，
设运往网点，则运往网点，
由题意得：，
解得：，
总运费，
①当时，取最小值1200时最小，
此时，运往地，运往地，
②当时，取最大值1800时最小，
此时运往地，运往地，
③时，在范围内的所有方案都可以．
综上所述，最优方案：①时，运往地，运往地，
②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以．
24．（本题8分）已知：如图，在ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交边AD、BC于点E、F，过点O的直线GH分别交边AB、CD于点G、H，∠BOF=∠DOH
(1)求证：△GOE≌△HOF；
(2)当AB=BC时，四边形GFHE是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)矩形；理由见解析；
【详解】（1）证明：∵□ABCD，
∴，
∴，
∴在和中，
∴（ASA），
∴；
在和中，
∴（ASA）；
∴
在和中
（SAS）；
（2）解：矩形；
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵，
∴，
在和中
∴（ASA），
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形（对角线相等的四边形是矩形）．
25．（本题10分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标
(3)如图3，连接 ，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由
【答案】(1)；
(2)
(3)抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，
则点P的是，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵的面积是面积的3倍，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立与得，
，
解得或（不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是．
26．（本题12分）如图，，B、E、C、L共线，，，，点Q是中点．动点M从点E出发向A运动，连接，动点N从点D出发向C运动，过N作，点M、N均以每秒钟1个单位速度运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点H在的平分线上时，求t的值；
(2)连接、、，设四边形面积为S，求S与t之间的函数关式；
(3)连接，当是等腰三角形时，求t的值；
(4)连接、，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：如图，过作于，作于，
∵平分，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴．
（2）如图，连接、、，，，过作于，交于，
则，而是的中点，
∴，
∴是的中点，
同理：是中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
由等腰直角三角形的性质可得：到，到的距离相等且为，
∴，，
∴；
（3）如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
当为等腰三角形，只能，
∵，，，，
∴，
∴，（不合题意舍去）
∴当时，是等腰三角形．
（4）如图，连接，，与交于点，
∵，是的中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
解得：，
当时，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考数学模拟卷（青岛专用）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C A B B D B B C C
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
/ 12．
13． 14．10 15． 16．
三、作图题：本题共1小题，共4分。请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．（4分）
【解析】解：如图，作的角平分线交于，作交于点，以为圆心，为半径画圆，
................................4分
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴边与相切于点．
∴即为所作．
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.（6分）【详解】
（1）原式 ................................3分
（2）
解①得
解②得
所以，原不等式组的解集为 ................................5分
所以，其整数解有1，2，3
它们的和为 ................................6分
（6分）【详解】
（1）解：由题意可知，（1）班视力数据中位数为4.9，
即a=4.9，落在B部分；
故答案为：B ................................1分
（2）补全频数直方图如图所示，
................................2分
（3）由（2）班视力数据可知，中数为4.8，即b=4.8；
故答案为：4.8 ................................3分
（4）由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05，
故50人中视力在4.85～5.05的人数为：50×0.3=15（人）；................................4分
故答案为：15．
由两组数据可知，两班平均数相等，（1）班中位数大于二班，（1）班方差小于（2）班，所以（1）班视力数据较为稳定，
故：（1）班的视力状况更好一些．................................6分
20.（6分）【详解】解：（1）∵A（﹣4，2），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2＝中，得m＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y＝；................................1分
将B坐标代入y=，得n＝﹣4，
∴B坐标（2，﹣4），................................2分
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得解得
∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；...............................3分
（2）一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2，
令则
则点C的坐标为： ................................4分
................................5分
（3）直线y1＝﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），
故当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围为﹣4＜x＜﹣1．................................6分
21.（6分）【详解】
记直线EF与AB的交点为H，如图，
∵∠AEF=30°，∠AFH=60°，
∴∠EAF=∠AFH ∠AEF=30°，
∴AF=EF=10米，..............................2分
∵EH⊥AB，
∴在Rt△AFH中，（米），...............................3分
∵EC⊥BC，AB⊥BC，EF⊥EC，
∴四边形ECBH是矩形，...............................4分
∴BH=EC=0.5米，
∴（米）．...............................5分
即字库塔的高约为9.2米．...............................6分
（6分）【详解】
如果有支参赛队伍，①号位有 种队员可以选择，②号位有 种队员可以选择；
...................1分
若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有种选择，这样我们就有种安排方法（结果不需要化简）； .................1分
若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需要化简）； ............4分
（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：种安排方法．
.............................6分
（8分）【详解】
（1）解：与成一次函数关系，设函数关系式为，
可选择，和，代入，
则：， ..................1分
解得：，
所求的函数关系为； ..................2分
（2）解：设月销售利润为元，
，
即， ..................3分
当时，有最大值，（元
答：这批农产品的销售价格定为60元千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元；
..................4分
（3）解：根据（2）得月销量为：，
设运往网点，则运往网点，
由题意得：，
解得：， ..................5分
总运费，
①当时，取最小值1200时最小，
此时，运往地，运往地，
②当时，取最大值1800时最小，
此时运往地，运往地，
③时，在范围内的所有方案都可以． .................7分
综上所述，最优方案：①时，运往地，运往地，
②时，运往地，运往地．③时，在范围内的所有方案都可以．
..................8分
（8分）【详解】
（1）证明：∵□ABCD，
∴，
∴，
..................1分
∴在和中，
∴（ASA），
∴； ..................2分
在和中，
∴（ASA）；
∴ ..................3分
在和中
（SAS）； ..................4分
（2）解：矩形；
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），..................5分
∵，
∴，..................6分
在和中
∴（ASA），
∴， ..................7分
∵，
∴，
∴四边形是矩形（对角线相等的四边形是矩形）．..................8分
（10分）【详解】
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为； ..................2分
（2）如图，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为， . .................3分
设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，
则点P的是，
∴，
∵，，，
∴，，，................4分
∵的面积是面积的3倍，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是； .................5分
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，
∵，， ∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，................6分
∵，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是，................7分
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，................8分
联立与得，
，
解得或（不合题意，舍去），................9分
∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是．................10分
（12分）【详解】
（1）解：如图，过作于，作于，
∵平分，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，..........................2分
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴．..........................3分
（2）如图，连接、、，，，过作于，交于，
则，而是的中点，
∴，
∴是的中点，
同理：是中点，
∴，，
∴，..........................4分
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，..........................5分
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
由等腰直角三角形的性质可得：到，到的距离相等且为，
∴，，
∴；.........................7分
（3）如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
当为等腰三角形，只能，.........................8分
∵，，，，
∴，
∴，（不合题意舍去）
∴当时，是等腰三角形．..........................9分
（4）如图，连接，，与交于点，
∵，是的中点，
∴，，
∵，，，
∴，.........................10分
∵，，
∴，
∴，.........................11分
∵，，，，
∴，，
∴，
解得：，
当时，．..........................12分
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