九年级（上）期末数学试卷（北师大版）
A卷（100分）
一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．如图是棱长为4的正方体截去棱长为2的正方体得到的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＝1 D．m≠0
4．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．2
6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球。
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 。
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面。
D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是3的倍数。
7．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为6，A，C的距离为4，则B，D的距离是（ ）
A．4 B．8 C．8 D．4
二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，则的值等于 ．
10．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
12．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（5，12），则AC的长是 ．
13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 ．
12题图 13题图
解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
（12分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣7＝6x
15、（8分）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次参与问卷调查的初中生共有 人，将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为 %，“较差”所对应的圆心角度数为 度；
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
16．（8分）“七十多年前，超过19万名志愿军战士在异国疆场悲壮地倒下，义无反顾地用血肉之躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之外．丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民志愿军用鲜血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们国家的富强和人民的幸福。面对美帝国主义精良的精确制导武器，中国人民志愿军战士没有被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战士只能使用以前一些土办法，”其中“跳眼法”就是炮兵常用的一种简易测距方法（图1），结合相似三角形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测物的大致距离．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
（1）“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识？（写出一条即可）
（2）已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么CO的大致距离为多少米？
17（10分）、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
18（10分）、如图，直线y＝2x分别与反比例函数y1＝和y2＝（x＞0）的图象交于A，B两点，点B横坐标为2．
（1）求n的值．
（2）若点C为y2＝图象上一点，过点C作直线CD∥y轴，交反比例函数y1于点D，当S△BCD＝时，求C点横坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19、设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ．
20、在正方形ABCD中，AD＝2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为 ．
21、如图，点A，B分别在第一，二象限的反比例函数图象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，点C在y轴负半轴上，连结AB，OA，AC，且AC交x轴于点E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k1+k2＝﹣，则k2的值为 ．
22、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MB＝3：8，则NG CG＝ ．
23、如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动，点F在y轴的正半轴上，且∠EFO＝30°，当点F到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24（8分）、新都区桂湖公园是全国唯一一座保存了隋唐园林遗迹的隋唐园林，园中植物以桂花、荷花最享有盛名，分别为中国五大桂花观赏地和八大荷花观赏地之一。其中“宝光桂湖”在2021年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在宝光桂湖，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护新都区形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
25（10分）、如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26（12分）、【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：．
【结论应用】
（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝4，BC＝6，求折痕EF的长；
【拓展运用】
（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝4，BC＝6，，求BP的长．
答案
A卷（共100分）
一、选择题（共8小题）
1、B 2、D 3、D 4、B 5、A 6、D 7、C 8、C
二．填空题（共10小题）
9、 10． m＜2且m≠1 11、 20 12、 13 ．13、 2 ．
三．解答题（共8小题）
14、解：
（1）原式＝； ……计算正确一项1分，最后答案正确6分
解：（2）整理，得 x2﹣6x﹣7＝0，
a＝1，b＝﹣6，c＝﹣7，
∵b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣7）＝36+28＝64＞0， ……2分
∴x＝， ……4分
∴x1＝7，x2＝﹣1． ……6分
或 （x-7）（x+1）=0 ……2分
x-7=0或x+1=0 ……4分
∴x1＝7，x2＝﹣1． ……6分 （其它方法正确也可得分。）
解：（1）80（人）， ……1分
将条形统计图补充完整如下：
……3分
（2）故答案为：30，36； ……5分
（3）画树状图如图：
……7分
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝． ……8分
16、解：（1）①平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；
②相似三角形的对应边成比例； ……3分
（2）∵CD∥AB，
∴△ABO∽△DCO，
∴， ……5分
根据题意得，OB＝64cm，AB＝6.4cm，CD＝50m，
∴CD＝＝500m， ……8分
答：CO的大致距离为500m．
17、（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形， ……1分
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ……2分
∴∠AOD＝90°， ……3分
∴平行四边形AODE为矩形； ……4分
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC， ……5分
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形， ……6分
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝AC＝2，
∴OD＝OB＝＝2， ……8分
由（1）可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积＝OA×OD＝2×2＝4． ……10分
18、（1）∵点B的横坐标为2，且点B在直线y＝2x上，
∴点B的纵坐标为4，
即B点的坐标为（2，4）， ……（1分）
∵B点在反比例函数y2＝（x＞0）的图象上，
∴＝4，
解得n＝8， ……（2分）
∴n的值为8；
（2）设C点和D点的横坐标为m，
则C（m，），D（m，），
∴CD＝＝， ……3分
∵S△BCD＝，
∴CD （xC﹣xB）＝，
即＝1， ……4分
解得m＝，
∴C点横坐标为； ……5分
（3）①当CE∥DF时，
∵四边形ACDF是正方形，C（m，），D（m，），
∴CE＝EF＝FD＝CD＝，
∴E点的横坐标为m﹣或m+（正方形在AB左侧时），
∵E点在直线AB上，
∴E点的纵坐标为2（m﹣）或2（+m）， ……6分
∵E点纵坐标和C点相同，
∴2（m﹣）＝或2（+m）＝，
解得m＝2或﹣2（舍去）或0（舍去），
∴F（，2）； ……7分
②当DE∥CF时，
∵四边形ACDF是正方形，
∴CF＝EF＝ED＝CD＝，
∴E点的横坐标为m﹣或m+，
∵E点在直线AB上，
∴E点的纵坐标为2（m﹣）或2（+m）， ……8分
∵E点纵坐标和D点相同，
∴2（m﹣）＝或2（+m）＝（无解舍去），
解得m＝或﹣（舍去），
∴F（，）； ……9分
综上所述，符合条件的F点坐标为（，2）或（，）． ……10分
B卷
19、 ﹣2024 20、 ﹣1 21、 ﹣ 22、 23、
24．解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88， ……2分
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． ……4分
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600， ……6分
解得y1＝18，y2＝22， ……8分
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18． ……10分
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
25、解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，
得﹣3＝m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6， ……1分
∴反比例函数解析式为y＝，
由，得或，
∴点B的坐标为（2，3）； ……2分
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE， ……3分
∴＝，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴C（6，1）， ……4分
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG+GC的最小值， ……5分
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C＝＝2，
∴BG+GC＝B′C＝2； ……6分
（3）存在．理由如下：
当点P在x的正半轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，
∴△OBE∽△OP1B，
∴＝，
∵B（2，3），
∴OB＝＝，
∴＝，
∴a＝，
∴点P1的坐标为（，0），
当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），
过点A作AH⊥x轴于点H，
同理证得点P2的坐标为（﹣，0），
当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．（一个答案一分）
26．（1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形， ……1分
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形， ……2分
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ， ……3分
∴＝，
∴＝； ……4分
（2）解：如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝4，
∴BD＝＝＝2， ……5分
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴＝， ……6分
∴＝，
∴EF＝； ……7分
（3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∴＝，
∴DG＝2，
∴AG＝＝＝2， ……8分
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，EG2＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
∴x＝， ……9分
∴DE＝EG＝，AE＝6﹣＝，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝4，
∴EH＝＝＝，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝2， ……10分
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠JFP，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP， ……11分
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FJ＝，PJ＝，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝6﹣﹣2＝，
在Rt△BJP中，BP＝＝＝． ……12分
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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