2022-2023学年江苏省南通市崇川区田家炳中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把抛物线向右平移个单位，然后向下平移个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
2.如果，那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
4.下列命题正确的是( )
A. 三个点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 圆内接平行四边形一定是矩形
D. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
5.如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为
( )
A. B. C. D.
6.如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点则小虫爬行的最短路径是( )
A.
B.
C.
D.
7.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏若小李同学同时转动盘和盘，她赢得游戏的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是
9.如图，已知．
以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
作射线交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．
作直线，交，分别于点，．
依据以上作图，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知的半径为，且点到圆心的距离是，则点与的位置关系是______．
12.对于反比例函数，当时，的取值范围是______．
13.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是______．
14.如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为______米
15.如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为______．
16.已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如下表所示：
则方程的根是______．
17.如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则的长为______．
18.如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是，则长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算下列各题：
．
若是锐角，，求的值．
20.本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是．
以为位似中心，作∽，与相似比为：，且在第二象限；
在上面所画的图形中，若线段上有一点，它的横坐标为，点在上的对应点的横坐标为，则 ______．
21.本小题分
年月日：，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量学校教务处决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：书写观后感；演示科学实验；绘制手抄报；开展主题班会王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上放置，搅匀后要求：
小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是______．
由九年级一名学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的概率．
22.本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
求反比例函数的关系式与的值；
求不等式的解集直接写出答案；
线段绕点顺时针旋转，得到线段，求点经过的路径长．
23.本小题分
如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若．
求证：是的一条切线；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度喷水头距喷灌架底部的距离是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．
计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；
如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？
25.本小题分
四边形为正方形，边长为，点为对角线上一动点不与点，重合，连接，过点作，交射线于点．
如图，求证：；
如图，作射线交射线于点．
当点在边上时，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式；
当时，请直接写出的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等积点．已知点．
在，，中，点的等积点是______；
如果点的等积点在双曲线
上，求点的坐标；
已知点，，的半径为，连接，点在线段上．如果在上存在点的等积点，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把抛物线向右平移个单位，然后向下平移个单位，则平移后抛物线的解析式为，
故选：．
根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】
解：若，等式两边同时乘以得：，项正确，
B.若，等式两边同时乘以得：，项错误，
C.若，等式两边同时乘以得：，项错误，
D.若，，则，项错误，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：中，，
米，
米．
故选：．
直接根据的正弦可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
连接，先根据圆周角定理得出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：连接，如图，
为的直径，
．
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为，
则：，其中
，如图所示：
由题意可知，，且点为的中点，
在中，，，
米
故蚂蚁沿线段爬行，路程最短，最短的路程是米，
故选：．
将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．
本题考查了平面展开最短路径问题，用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有种情况，
小李同学同时转动盘和盘，她赢得游戏的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有种情况，然后由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A正确不符合题意；
当时，，故选项B正确，不符合题意；
反比例函数随的增大而减小，
当时，，故选项C错误，符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意；
故选：．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作法得平分，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，
，
，即，
．
故选：．
利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
10.【答案】
【解析】解：二次函数对称轴为直线，
时，取得最大值，，
解得，不合题意，舍去；
时，取得最大值，，
解得，
不满足的范围，
；
时，取得最大值，，
解得．
综上所述，或时，二次函数有最大值．
故选：．
求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．
11.【答案】点在圆内
【解析】解：，，
，
点在圆内，
故答案为：点在圆内．
根据当时，点在圆内解答．
本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
12.【答案】
【解析】解：当时，，
反比例函数中，，
在第一象限内随的增大而减小，
．
故答案为：．
先求出时的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：个，
故答案为：．
根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交于点，由于，可是米，则米，
四边形是矩形，
，
∽，
，
即．
解得，
即米，
故答案为：．
通过作高，利用相似三角形的判定和性质，列比例解答即可．
本题考查视角与盲区，掌握相似三角形的判定和性质以及矩形的性质是正确解答的前提．
15.【答案】
【解析】解：，
，
即，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
．
．
如图，过点作轴于点，
，
设，，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
点坐标为：．
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．
本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
16.【答案】，
【解析】解：由表格可知：，对称轴为，
，
可整理为，
由表格可知当时，
抛物线与直线的一个交点坐标为，
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线的另一交点坐标为，
的根是，．
即的根是，．
故答案为：，．
由表格可知，对称轴为，将整理为，根据表格可得抛物线与直线的交点，再由抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
17.【答案】
【解析】解：连接，交于点，
将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，
，，
设，
，，，
，
，
，
而，
≌，
，即点是的中点，
，
，
在上，
，
，
，
，
，
，
在中，
，解得或负数关系舍去，
，
，
，，
，
故答案为：．
连接，交于点，首先证明点是的中点，根据折叠可得是中点，，设，则，，再由在上可得，求得，再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标，最后求出的长．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．
18.【答案】
【解析】解：如图，延长交圆于点，连接，，过点作交于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
延长交圆于点，连接，，过点作交于点，则是等边三角形，再确定点在以为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点的轨迹是解题的关键．
19.【答案】解：
；
，
，
，
．
【解析】先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
根据特殊角锐角三角函数值，可得，再根据二次根式，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解．
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图所示：即为所求；
由题意可得：，
解得：
故答案为：．
直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，进而得出答案；
利用位似图形的性质以及对应点的坐标关系得出答案．
此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的结果有种，
九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：把点的坐标为，代入反比例函数得，，解得，
反比例函数的关系式为，
点的坐标为代入得，，
反比例函数的关系式为，；
根据两个函数的图象，可得，
不等式的解集为：或，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
点经过的路径是以为圆心，长为半径的圆上圆心角为的一条弧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
点经过的路径长为．
【解析】把点的坐标为，代入可求出反比例函数的关系式，进而确定点的坐标，得出答案；
根据图象直接得出答案；
直接用弧长公式求点经过的路径长．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质、弧长公式等知识，把点的坐标代入是常用的方法，旋转前后线段之间的关系以及线段与坐标之间的相互转化是解决问题的关键．
23.【答案】证明：，，
，
同位角相等，两直线平行，
，
，
是的一条切线；
解：是的直径，
，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
解得：．
【解析】利用圆周角定理以及平行线的判定得出，进而得出答案；
利用垂径定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出的长．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出∽是解题关键．
24.【答案】解：由题意可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
由题意可知点坐标为，
则直线为，
，
答：的最大值为；
设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：或舍去，
答：喷射架应向后移动米．
【解析】设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式；
先求出直线的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点的坐标代入可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】证明：如图，过分别作交于，交于，
则四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，
平行四边形是正方形，
，
，
，
，
，
≌，
；
由可知：≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
当点在线段上时，如图，过点作于，
由可知：，
又，
，
，，
，
，
，舍去，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
∽，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
同理可求，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述：的值为和．
【解析】作、，证四边形是正方形得，再证，从而得≌，据此可得证；
由全等三角形的性质可得，可证是等腰直角三角形，可得，由勾股定理和三角形的面积公式可求解；
分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26.【答案】，
【解析】解：，
是点的等积点；
，
不是点的等积点；
，
是点的等积点，
故答案为：，；
设，
点是点的等积点，
，
解得或，
或；
点，，且点在线段上，
点的纵坐标为，
设，点的等积点，
，即，
点的等积点在直线上，
在上存在点的等积点即是与直线有公共点，
当，即与重合时，在直线上，如图：
设，
，，
，
化简整理得：，
与直线有公共点，
关于的一元二次方程总有实数根，
，
解得，
当，即与重合时，在直线上，如图：
设，
，，
，
化简整理得：，
与直线有公共点，
关于的一元二次方程总有实数根，
，
解得，
在上存在点的等积点，的范围是．
根据定义通过计算可知：点，是点的等积点；
设，由点是点的等积点，有，解方程即可得点的坐标；
设，点的等积点，有，即，故在上存在点的等积点即是与直线有公共点，分两种情况：当，设，可得，由一元二次方程根的判别式得，即得，当，同理可得，从而，故的范围是．
本题考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、圆的性质及应用等知识与方法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义，此题难度较大，属于考试压轴题．
