2023-2024学年河南省信阳市羊山中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段组成三角形的是（ ）
A. 2，11，13 B. 5，12，13 C. 5，5，11 D. 5，12，7
3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为( )
A. 110° B. 140° C. 220° D. 70°
5. 如图，在中，，于点D，．如果，那么（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C D.
9. 下列分式中，一定有意义的分式是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④．上述结论中始终正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：____________．
12. 冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012科学记数法表示为__________．
13. 已知，如图，在△ABC中，，，cm，BD＝3cm，则ED的长为________cm．
14. 如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是________（用含a，b的式子表示）．
15. 如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿A→C运动，然后以的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当_____时，的面积等于？
三、解答题：本题共8小题，75分．
16.
（1）解方程：；
（2）计算：．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）若与关于x轴成轴对称，作出；
（2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；
（3）计算的面积．
19. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．
（1）实际每年绿化面积为多少万平方米？
（2）加大创建力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
20. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作高，在上取点P，连接，以点P为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在上述的条件下，求证：为等边三角形．
21. 如图，在和中，，E是的中点，于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22. 我国古代数学许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出的展开式；
（2）利用上面的规律计算：；
（3）的展开式的系数和为 ；
（4）运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ．
23. (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2023-2024学年河南省信阳市羊山中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据把图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意，
B．图形不是轴对称图形，不符合题意，
C．图形不是轴对称图形，不符合题意，
D．图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
2. 下列长度的三条线段组成三角形的是（ ）
A. 2，11，13 B. 5，12，13 C. 5，5，11 D. 5，12，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得，
A、2＋11＝13，不能组成三角形，不符合题意；
B、5＋12＞13，能够组成三角形，符合题意；
C、5＋5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
D、5＋7＝12，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数进一步求解即可.
【详解】∵y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
4. 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为( )
A. 110° B. 140° C. 220° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠A=70°，
∴∠ADE+∠AED=180°-70°=110°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，解题的关键是利用翻折的性质找到相等的角．
5. 如图，在中，，于点D，．如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过HL判定定理可证Rt BDE Rt BCE，得到ED=EC，即可求解．
【详解】在和中，，，∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS， SSS，HL，全等三角形的对应边相等.
6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断．
【详解】根据题意可得，
∴
∵
∴
∴，故A选项不符合题意；
根据题意无法得到，
∴不能判定，故B选项符合题意；
根据题意可得，是的角平分线，
又∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，，
∴，
∴是的角平分线，
∴，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用同底数幂乘除法法则、完全平方公式、幂乘方以及积的乘方法则运算即可求出答案．
【详解】解：（A），故错误；
（B），故错误；
（C），故正确；
（D） ，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘除法法则、完全平方公式、幂的乘方以及积的乘方，熟练运用运算法则是解决本题的关键．
8. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分式的加法法则的逆用判断A，利用约分判断B，利用分式的基本性质判断C，利用约分判断D．
【详解】解：由，所以A错误，
由，所以B错误，
由，所以C正确，
由，所以D错误．
故选C．
【点睛】本题考查分式加减运算的逆运算与分式的基本性质，掌握运算法则与基本性质是关键，
9. 下列分式中，一定有意义的分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零逐项判断即可得出答案．
详解】解：、当时，，分式无意义，故选项不符合题意；
、当时，，分式无意义，故选项不符合题意；
、无论取何值，都有，分式一定有意义，故选项符合题意；
、当时，，分式无意义，故选项不符合题意，
故选：．
10. 如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④．上述结论中始终正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】解：如图，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
在△APE与△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF，
则S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC，
∴故③正确；
④∵△APF≌△BPE，△APE≌△CPF，
∴BE=AF，CF=AE，
∴BE+CF=AF+AE＞EF，∴④错误；
正确结论为①②③，共3个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
12. 冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012科学记数法表示为__________．
【答案】1.2×10-7
【解析】
【分析】将0.00000012写成a×10n(1＜|a |＜10,n为负整数)的形式即可．
【详解】解: 0.00000012=1.2×10-7．
故填1.2×10-7．
【点睛】本题主要考查运用科学记数法, 将原数写成a×10n(1＜|a |＜10,n为负整数),确定a和n的值成为解答本题的关键．
13. 已知，如图，在△ABC中，，，cm，BD＝3cm，则ED的长为________cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据线段的和差关系可得CD的长，利用ASA可证明△ACD≌△AED，可得CD=ED，即可得答案．
【详解】∵cm，BD＝3cm，
∴CD=CB-BD=2cm，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED，
∴ED=CD=2cm，
故答案为：2
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意，应用SAS时，角必须是两边的夹角；AAA和SSA不能判定两个三角形全等，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．
14. 如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是________（用含a，b的式子表示）．
【答案】4ab
【解析】
【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积．
【详解】∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积，
∴为图1长方形面积
∴=2a×2b=4ab
故答案为：4ab
【点睛】本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键．
15. 如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿A→C运动，然后以的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当_____时，的面积等于？
【答案】，，；
【解析】
【分析】本题考查三角形动点问题，根据动点路程问题表示出，，分类讨论根据面积列式求解即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
∵点E是的中点，，
∴，
当点P在上运动时，
，即，
，
∵，
∴，
∵，的面积等于，
∴，
解得：，
当点P在上运动时，
，即：，
，
∴，
∵，的面积等于，
∴，
解得：，
当点P在上运动时，
，即：，
，
∴，
∵，的面积等于，
∴，
解得：，
故答案为：，，．
三、解答题：本题共8小题，75分．
16.
（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查解分式方程，去分母，解方程，验根即可得到答案；
（2）本题考查有关0指数幂，负指数幂及根式的运算，根据，，及绝对值的性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：两边同时乘以得，
，
解得：，
当时，，
∴是原方程的解；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：原式
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）若与关于x轴成轴对称，作出；
（2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；
（3）计算的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P．
（1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出；
（2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点P即为所求．P坐标为，
故答案为．
【小问3详解】
解：．
19. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．
（1）实际每年绿化面积为多少万平方米？
（2）为加大创建力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【答案】（1）实际每年绿化面积45万平方米
（2）平均每年绿化面积至少增加30万平方米
【解析】
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x，并验证，即可求出答案；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意即可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集即可．
【小问1详解】
设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程解，
∴1.5x＝45．
答：实际每年绿化面积45万平方米．
【小问2详解】
设平均每年绿化面积增加a万平方米，
根据题意得：45×3+3（45+a）≥360，
解得：a≥30．
答：平均每年绿化面积至少增加30万平方米．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．根据题意找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
20. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的高，在上取点P，连接，以点P为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在上述的条件下，求证：为等边三角形．
【答案】（1）图见详解；
（2）证明见详解；
【解析】
【分析】（1）本题考查作垂线，根据等腰三角形底边上三线合一，直接做垂线即可得到答案；
（2）本题考查等边三角形的判定，根据，得到，根据作图得到，即可得到，即可得到，即可得到证明；
【小问1详解】
解：由题意可得，画图如下，
；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
由作图可得，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵以点P为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形．
21. 如图，在和中，，E是的中点，于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2）6；
【解析】
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合得到即可得到，结合即可得到证明；
（2）本题考查三角形全等的性质，根据得到，结合及中点即可得到答案；
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴．
22. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出的展开式；
（2）利用上面的规律计算：；
（3）的展开式的系数和为 ；
（4）运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）四．
【解析】
【分析】（）根据规律即可求解；
（）根据规律即可求解；
（）由展开式找到系数和的规律，即可求解；
（）根据规律展开后看最后一项即可求解；
本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：由规律可得，；
【小问2详解】
解：由规律可得，
；
【小问3详解】
解：由展开式可得，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
，
∴的展开式的系数和为，
故答案为：；
小问4详解】
解：，
∵，
∴的余数为，
∴若今天是星期三，经过天后是星期四，
故答案为：四．
23. (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【答案】（1）AF＝BD，证明见解解析；（2）AF＝BD仍然成立；（3）Ⅰ.AF＋BF′＝AB，见解析；Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD．
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD．
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的性质可得BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB．
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
【详解】解：（1）AF=BD．证明如下：
∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）．
∵△DCF是等边三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°．
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF．
在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS）．
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．
（2）AF=BD仍然成立．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°．
∵△DCF是等边三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°．
∴∠BCD=∠ACF．
在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS）．
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB．证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF．
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD．
∴AF+BF′=BD+AD=AB．
Ⅱ．Ⅰ中结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′．证明如下：
在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）．
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）．
又由（2）知，AF=BD，
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
