广东省汕头市第六中学2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
2．（3分）下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．锐角三角形 B．长方形
C．直角三角形 D．等腰三角形
3．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，点A和点A′，点B和点B′是对应点，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．（3分）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．CE B．AD C．CF D．AB
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D为AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合）且保持∠EDF＝90°，连接EF，在此运动变化过程中，S△CEF的最大值为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
7．（3分）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠ADC＝45° B．∠DAC＝45° C．DB＝DA D．BD＝DC
8．（3分）如图，AC，BD互相平分，且交于点P，则AB与CD的关系是（ ）
A．平行 B．相等
C．平行且相等 D．无法确定
9．（3分）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝6cm，BD＝5cm，AD＝4cm，那么BC的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）十六边形的外角和等于 ．
12．（3分）小明站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间如图，则电子钟的实际时间应该是 ．
13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，过AB边上一点D作BC的平行线交AC于E，则△ADE的三个内角 等于60度．（填“都”、“不都”或“都不”）
14．（3分）等腰三角形的顶角为76°，则底角等于 ．
15．（3分）如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 °．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则DE长是 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）用四块如图1所示的是小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案（如图2）．请在图3，图4 中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形．
18．（8分）如图，已知等腰三角形OAB、OEF中，∠AOB＝90°，∠EOF＝90°，连接AE、BF，说明：
（1）AE＝BF；
（2）AE⊥BF．
19．（8分）如图，△ABC为等边三角形，CF⊥AB于点F，AH⊥BC于点H，点D在AH的延长线上，连接CD，以CD为边作等边△CDE，连接AE交CF于点G．
（1）若AC＝4，CE＝，求△ACD的面积．
（2）证明：AG＝GE．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B﹣∠C＝30°，则∠DAE＝ ．
（3）若∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
21．（10分）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
22．（10分）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE＝CA；
（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．
广东省汕头市第六中学2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
2． 解：长方形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；
故选：B．
3． 解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACA′+∠A′CB＝∠A′CB+∠BCB′，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．
故选：B．
4． 解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
5． 解：由图可知，过点A作BC的垂线段AD，则
△ABC中BC边上的高是AD．
故选：B．
6． 解：连接CD．
∵D是AB中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，
∵∠EDC+∠CDF＝90°，∠CDF+∠FDB＝90°，
∴∠EDC＝∠FDB，
在△EDC和△FDB中，
，
∴△EDC≌△FDB（ASA），
∴CE＝BF，
当CF＝CE＝BF时，
△CEF的面积最大，最大值＝，
故选：B．
7． 解：∵∠ACB＝90°，∠B＝22.5，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
又AB的垂直平分线交BC于D，
∴DB＝DA，故选项C正确；
∴∠BAD＝∠B＝22.5°，
∴∠DAC＝67.5°﹣22.5°＝45°，选项A正确，
∠ADC＝22.5°+22.5°＝45°，选项B正确，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD＝BD，
∴BD＞CD，选项D错误，
则不正确的选项为D．
故选：D．
8． 证明：∵AC，BD互相平分交于点P，
∴DP＝BP，AP＝CP，∠DPC＝∠BPA，
在△APB和△CPD中
，
∴△APB≌△CPD（SAS）．
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
故选：C．
9． 解：∵△ABC≌△BAD，
∴BC＝AD＝4cm．
故选：B．
10． 解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝ AB OD，S2+S3＝ BC OE+ AC OF＝OD （BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：十六边形的外角和等于360°．
故答案为：360°．
12． 解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，
∴电子钟的实际时间应该是10：21，
故答案为：10：21．
13． 解：∵DE∥BC，△ABC是等边三角形
∴∠ADE＝∠ABE＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°
∴△ADE是等边三角形，即△ADE的三个内角都等于60°．
14． 解：根据题意可得，
底角度数为（180°﹣76°）÷2＝52°，
故答案为52°
15． 解：连接DA、DC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，
∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，
故答案为：10．
16． 解：作 DH⊥AC 于 H，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
∴DH＝DE，
∵△ABC 为直角三角形，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴DE AB+DH AC＝AB AC，
∴DH＝DE＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17． 解：如图所示：
18． （1）证明：如图AC与BO交于点G，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF．
（2）∵△AOE≌△BOF，
∴∠OAE＝∠OBF，
∵∠OAG+∠AGO＝90°，∠AGO＝∠BGC，
∴∠BGC+∠GBC＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴AC⊥BF．
19． （1）解：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC＝4，CE＝CD＝，
∵AD⊥BC，
∴BH＝HC＝2，AH＝＝2，
在Rt△CDH中，∵∠DHC＝90°，CH＝2，CD＝，
∴DH＝＝1，AD＝1+2，
∴S△ACD＝ AD CH＝1+2．
（2）证明：作AN∥EC交CF于N．连接BN，BD．
∴∠ANC＝∠ECN，
∵CF⊥AB，
∴FA＝FB，∠BCF＝∠ACB＝30°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE+∠BCF＝90°+∠BCD＝∠AFN+∠BAN＝90°+∠BAN，
∴∠BAN＝∠BCD，
∵NF⊥AB，AF＝FB，
∴NA＝NB，
∴∠ABN＝∠BAN，同法可证：∠DCB＝∠DBC，
∵AB＝BC，
∴△BAN≌△BCD（ASA），
∴AN＝CD＝CE，
∵AN∥EC，
∴∠NAG＝∠CEG，
∵∠AGN＝∠EGC，
∴△AGN≌△EGC（AAS），
∴AG＝GE．
证法二：过点E作EM⊥FC交FC的延长线于M．
证明△CHD≌△EMC，推出CH＝EM＝AF，
再证明△AGF≌△AGM，可得AG＝GE．
20． 解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠C，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]
＝（∠B﹣∠C），
（1）若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE＝（70°﹣40°）＝15°；
（2）若∠B﹣∠C＝30°，则∠DAE＝×30°＝15°；
（3）若∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C），则∠DAE＝α；
故答案为15°．
21． 解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
22． （1）证明：在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF．
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4＝∠4+∠5＝60°．
∴∠3＝∠5．
∵∠1+∠ADE＝∠2+∠ACE，
∴∠1＝∠2．
在△ADF和△EDC中，
，
∴△ADF≌△EDC（AAS）．
∴CE＝AF．
∴CD+CE＝CF+AF＝CA．
（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA＝CD；
证明：
在CA延长线上取CF＝CD，连接DF．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵CF＝CD，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2＝60°，
∵∠ADE＝∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3．
在△DFA和△DCE中
，
∴△DFA≌△DCE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴CE+CA＝FA+CA＝CF＝CD．
注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．
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