2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，则为( )
A. B. C. D.
2.克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式( )
A. B. C. D.
3.某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致能反映出小明这一天时时体温的变化情况的图是( )
A. B.
C. D.
4.设函数是上的减函数，则有( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.中国数学家华罗庚倡导的“优选法”在各领域都应用广泛，就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若函数恰有个零点，，，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
10.若，，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，若函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，下列数中可以为函数的包容数的是( )
A. B. C. D.
12.关于函数有以下四个选项，正确的是( )
A. 对任意的，都不是偶函数
B. 存在，使是奇函数
C. 存在，使
D. 若的图像关于对称，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个在上单调递增的奇函数 ______．
14.若函数，则 ______．
15.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是______．
16.已知，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简下列式子并求值：
；
．
18.本小题分
如图，已知单位圆与轴正半轴相交于点，点，在单位圆上，其中点在第一象限，且，记，．
Ⅰ若，求点，的坐标；
Ⅱ若点的坐标为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期；
求不等式的解集．
21.本小题分
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．
试确定的值，并解释其实际意义；
设．
方案：用个单位量的水，清洗一次；
方案：每次用个单位量的水，清洗两次；
方案：每次用个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．
22.本小题分
已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意都有，当时，．
用单调性的定义证明在上单调递减；
若，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，，
．
故选：．
利用补集定义能求出A.
本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解： 糖水中有 糖，
糖水的浓度为：；
糖水中有 糖，若再添 糖，
则糖水的浓度为：；
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
故选：．
糖水中有 糖，若再添 糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化思想．属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意：小明的体温变化图象分上升、下降、上升、下降四段最后正常体温大约．
观察四个选项，只有选项符合．
故选：．
根据题意，小明的体温变化情况分四段：从正常到早晨发烧，体温上升；吃药后体温下降至基本正常；下午体温又上升；体温下降直到半夜体温正常，也就是身上不烫了．由此就可以作出选择．
正确分清体温的变化情况是解本题的关键，还需注意人的正常体温大约是这一常识．
4.【答案】
【解析】解：函数是上的减函数，
则
故选：．
根据一次函数的单调性由的系数可得，解可得答案．
本题主要考查一次函数的单调性．
5.【答案】
【解析】解：，
故是的充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，且，得，
．
故选：．
由已知可得，代入，再由倍角公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则为上增函数，
又，
则，则．
故选：．
构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到．
本题主要考查不等式与不等关系，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由函数恰有个零点，得有个实根，
由五点法作图，
函数，过点，，，，
且，
则，，，，
所以．
故选：．
由已知可得有个实根，作的图像，利用正弦型函数图像的对称性，找，，，，间的关系，即可求得结果．
本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与方程的根，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求．
综上可得：或．
故选：．
分与两种情况，解方程，求出答案．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10.【答案】
【解析】解：对于；所以对
对于，，虽然，只能说明，同号，若，都小于时，所以，错
故选：．
利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式的使用条件是，．
本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得的值域为的值域的子集，
若，当时，，
当时，，
，满足题意；
若，当时，，
当时，，
，满足题意；
若，当时，，
当时，，
，满足题意；
若，当时，；
当时，，
，不满足题意．
故选：．
由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论四个选项，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．
本题考查函数值域和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，其中，
所以，，
所以不可能是偶函数，故A正确；
对于，由可知，，所以，，
所以不可能是奇函数，故B错误；
对于，因为，故C错误；
对于，因为的图像关于对称，
所以，
所以，
解得，故D正确．
故选：．
利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式写成正弦型函数，进一步利用函数的性质逐一判断即可．
本题考查了辅助角公式的应用、正弦函数的性质，属于中档题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：可考虑，为奇函数，在上单调递增．
故答案为：答案不唯一．
先考虑定义域为的奇函数，再考虑的单调性，可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合，考查推理能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数，
则
故答案为：．
利用分段函数总结求解函数值即可．
本题考查函数值以及分段函数的应用，考查计算能力．
15.【答案】或
【解析】解：因为：，，
所以：，可得：，可得：，
若函数，既有最小值也有最大值，
当，即：时，有最大值，最小值，
当，即，有最大值，最小值，
综上所述，或．
故答案为：或．
由已知可求范围，当，即时，有最大值，最小值，当，即，有最大值，最小值，即可得出答案．
本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
则
因为，
令，，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值及范围求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：．
．
【解析】将式子用对数运算公式，等展开合并化简即可求值；
将式子用分数指数幂运算公式等，进行化简求值即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ若，则点，；
Ⅱ若点的坐标为，则，，
．
【解析】Ⅰ若，直接利用三角函数的定义求点，的坐标；
Ⅱ若点的坐标为，则，，即可求的值．
本题考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，比较基础．
19.【答案】解：因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，
所以，解得，即的取值范围是．
若对一切实数都成立，
则，解得，
即实数的取值范围是．
【解析】利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；
利用判别式即可解决．
本题主要考查二次函数的图象与性质，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：的最小正周期．
不等式，即，所以，
求得，故不等式的解集为．
【解析】根据正切型三角函数最小正周期的求法求得正确答案．
根据正切函数的性质求得不等式．
本题考查三角函数的性质，解不等式，属于中档题．
21.【答案】解：开始时蔬菜的农药含量为，用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，
则，表示没有用水清洗时，蔬菜的农药含量与原来相同．
因为，；
方案：用个单位量的水清洗一次，农药残留量之比为；
方案：用个单位量的水分二次清洗，第一次清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：，
第二次清洗后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为：；
方案：每次用个单位量的水，清洗三次后，残留的农药量之比为；
比较知，方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少．
【解析】求的值，根据题意求解即可．
分布求出方案、方案和方案中清洗后残留的农药量之比，比较即可得出结论．
本题考查了函数模型的实际应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
22.【答案】解：证明：任取，则，
因为，所以，，
则，即，
所以在上单调递减；
因为是奇函数，所以，，
因为对定义域内的任意都有，
所以令，得，即，
因为是奇函数，，
所以，即，即是周期为的周期函数，
因为在上单调递减，
所以趋于时，趋于；趋于时，趋于，
所以在上的值域为，
而是周期为的周期函数，则对任意的，，
由对任意的，存在，使得成立，
则存在，使得，
令，，则，
时，，所以，解得或，即；
时，，所以，解得或，即；
所以的取值范围为．
【解析】直接利用函数单调性的定义进行判定即可；
先求函数在上的值域，然后根据求出函数的周期，从而可求出函数的值域，进而存在，使得，最后利用换元法求出的最大值，从而可求出的取值范围．
本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的奇偶性、单调性、周期性，同时考查了分类讨论的数学思想和换元法的运用，属于中档题．
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