机密★启用前
山东省2021年夏季
2019-2020级普通高中学业水平合格考试
数学试题
本试卷共4页，满分100分．考试用时90分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：圆柱的体积公式：，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高．
一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是（ ）
A．所有奇数都是2的倍数 B．存在一个偶数是2的倍数
C．所有偶数都不是2的倍数 D．存在一个偶数不是2的倍数
4．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有20件，则为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
8．已知奇函数在区间上单调递减，则下列函数值中最大的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（ ）
A．400 B． C．800 D．
12．若向量满足与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．2
13．同时抛掷两颗质地均匀的六面体骰子，分别观察它们落地时朝上的面的点数，则“两颗骰子的点数相同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（ ）
A．3150 B．3600 C．5250 D．6000
18．在一次随机试验中，事件A，B发生的概率分别为，，则下列表述中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．若与是互斥的，则
D．若与互为对立事件，则
6．《九章算术》记载了如下问题：“今有圆囷，高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛．问周几何？”单位经换算后，其大意是：“一圆柱形粮仓，高为尺，体积为3240立方尺．问其周长是多少？”已知建粮仓所用枋料的体积不计，圆周率约为3，则估算粮仓的底面周长（单位：尺）为（ ）
A．30 B．42 C．54 D．66
7．在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线
C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线
8．函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
9一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为2.5，则该组数据的众数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
21．已知正实数满足，则的最大值是______．
22．已知集合．若，则的值为______．
23．已知函数则的值为______．
24．在中，角的对边分别为．若，则的值为______．
25．如图，是一半圆的直径，为半圆周上的两个点，且，则的值为______．
三、解答题：本题共3小题，共25分．
26．（本小题满分8分）
将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象．求：
（1）的值；
（2）的单调递减区间．
27．（本小题满分8分）
如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．
（1）求证：平面；
（2）求四棱柱的体积．
28．（本小题满分9分）
已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断在其定义域上的单调性，并用定义证明；
（3）若，解关于的不等式．
机密★启用前
山东省2021年夏季
2019-2020级普通高中学业水平合格考试
数学试题参考答案
一、选择题：
1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D 11．Β 12．A 13．A 14．C 15．D 16．C 17．D 18．C 19．Α 20．С
二、填空题：
21．1 22．5 23．3 24． 25．
三、解答题：
26．解：（1）由题意得，
所以，
解得．
因为，
所以．
（2）令，
解得，
所以的单调递惐区间为．
27．（1）证明：在四棱柱中，，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）解：取中点为，连结．
在四棱柱中，，
因为四边形为菱形，
所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
所以四棱柱的高．
因为底面为矩形，，
所以四棱柱的底面积为，
故四棱柱的体积为．
28．解：（1）要使原函数有意义，只需
解得，
所以的定义域为．
（2）在上单调递增．
证明如下：任取，且，
败
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
故，
即，
所以在上单调递增．
（3）由（1）知，．
因为，
要使，
只需，
由知，在上单调递增，
所以，
得，
即．
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或．
综上所述当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
