第六章 6.3.1二项式定理
一．选择题
1．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( )
A．－20i B．15i
C．20 D．－15
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840 B．840
C．210 D．－210
4．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27
C．36 D．108
6．(多选)(2023年长沙月考)对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
7．在5的展开式中x2的系数为20，则常数a＝( )
A．± B．
C．± D．
8．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
9．(多选)(2023年龙岩期中)若二项式k的展开式中含x2的项，则k的取值可能为( )
A．6 B．8
C．10 D．14
二．填空题
10.7的展开式中倒数第三项为________．
11．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________.
12．(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________(用数字填写答案)．
13．(2023年嘉兴期末)已知多项式(x＋1)n＋(x＋2)m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＝5，a2＝16，则m＝________，n＝________.
三．解答题
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
15．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．第六章 6.3.1二项式定理
一．选择题
1．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
【答案】A 【解析】S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4.故选A．
2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( )
A．－20i B．15i
C．20 D．－15
【答案】D 【解析】(1＋i)6展开式中的第3项为Ci2＝－15.
3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840 B．840
C．210 D．－210
【答案】B 【解析】在通项公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.
4．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】B 【解析】Tk＋1＝C()n－kk＝2kCx.令＝0，得n＝3k.根据题意有2kC＝60，验证知k＝2，故n＝6.
5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27
C．36 D．108
【答案】D 【解析】Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C·33＝108.
6．(多选)(2023年长沙月考)对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
【答案】AD 【解析】该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r·(x3)r＝Cx4r－n，∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选AD．
7．在5的展开式中x2的系数为20，则常数a＝( )
A．± B．
C．± D．
【答案】A 【解析】由题意得二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C25－r(－a)rx5－r，依题意，令5－＝2，则r＝2，C23·(－a)2＝20，解得a＝±.故选A．
8．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
【答案】D 【解析】x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.
9．(多选)(2023年龙岩期中)若二项式k的展开式中含x2的项，则k的取值可能为( )
A．6 B．8
C．10 D．14
【答案】BD 【解析】通项Tr＋1＝(－1)rCxk－rx－2r＝(－1)rCxk－3r(r＝0,1,2，…，k)，则k＝3r＋2，k∈N*，即r＝，因为r∈N，所以k＝2,5,8,11,14，….故选BD．
二．填空题
10.7的展开式中倒数第三项为________．
【答案】 【解析】由于n＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T6＝C(2x)2·5＝C·22＝.
11．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________.
【答案】11 【解析】a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1，∴＝＝，即＝3，解得n＝11或n＝0(舍去)．
12．(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________(用数字填写答案)．
【答案】－40 【解析】(x2－x－2)4＝(x＋1)4(x－2)4，(x＋1)4的展开式通项为Tr＋1＝Cx4－r，(x－2)4的展开式通项为Tk＋1＝Cx4－k(－2)k，所以(x2－r－2)4的展开式中，x3的系数为C·C(－2)4＋C·C(－2)3＋C·C(－2)2＋C·C(－2)＝－40.
13．(2023年嘉兴期末)已知多项式(x＋1)n＋(x＋2)m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＝5，a2＝16，则m＝________，n＝________.
【答案】2 6 【解析】由题意，a0＝C＋C×2m＝1＋2m＝5 m＝2，则a2＝C＋C＝C＋1＝＋1＝16 n＝6(负值舍去)．
三．解答题
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解：已知二项展开式的通项为Tk＋1＝C·n－k·k＝(－1)k·n－kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.
(2)令2×10－k＝5，得k＝(20－5)＝6.
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1，2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝C()14－r()r＝Cx，
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项：
r＝0，T1＝Cx7＝x7；
r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Cx5＝91x5.
