第六章 6.2.3组合
一．选择题
1．(多选)下列问题是组合问题的是( )
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，有多少种不同的结果
D．从10个里选3个人去开会，有多少种选法
【答案】BCD 【解析】A与顺序有关，是排列问题，B，C，D均与顺序无关，是组合问题．
2．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种
C．10种 D．6种
【答案】D 【解析】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人(设为乙1，乙2，乙3，乙4)中选2人即可，有乙1乙2，乙1乙3，乙1乙4，乙2乙3，乙2乙4，乙3乙4，共6种不同的选法．
3．将2名女教师、4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．10种
C．12种 D．9种
【答案】C 【解析】第一步，为甲地选1名女教师，有2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有6种选法(例举略)；第三步，剩下的3名教师到乙地．故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)．
4．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，则所有不同的组合有( )
A．8个 B．10个
C．12个 D．14个
【答案】B 【解析】所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．
5．4张卡片上分别写有“中”“国”“你”“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”“国”的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】从4张卡片中随机抽取2张，有6种选法(例举略)，取出的2张卡片上的文字恰好是“中”“国”只有1种，故取出的2张卡片上的文字恰好是“中”“国”的概率p＝.故选C．
6．(2023年驻马店期末)2021年第十四届全国运动会的吉祥物“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”深受大家的喜欢．现有“朱朱”“熊熊”布偶各1个，“羚羚”“金金”布偶各2个，从这6个布偶中随机抽取2个，则这2个布偶不一样的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】从这些布偶中随机抽取2个，共有15种情况(例举略)，其中这2个布偶是同一种布偶的情况有2种，故所求概率p＝1－＝.故选A．
7．(2023年辽宁期末)学校开设甲类选修课3门，乙类选修课4门，从中任选3门，甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为( )
A．24 B．30
C．60 D．120
【答案】B 【解析】根据结果分类：第一类，2门甲类课程，有3×4＝12(种)；第二类，2门乙类课程，有3×6＝18(种)．根据分类加法计数原理，共有12＋18＝30种不同的选法．故选B．
8．(多选)下列问题是组合问题的是( )
A．若集合A＝{a，b，c，d}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个
B．从7本不同的书中取出5本捐给图书馆
C．6个人相互写一封信，共写了几封信
D．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
【答案】AB 【解析】A集合中的元素具有“无序性”，故它是组合问题．B从7本不同书中，取出5本捐给图书馆，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．C因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．D因为铁路车票有起点、终点之分，所以车票有顺序之分，故它是排列问题．
9．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( )
A．70个 B．80个
C．82个 D．84个
【答案】A 【解析】分两类：第1类，从直线a上任取1个点，从直线b上任取2个点(例举略)，共有4×10＝40种方法；第2类，从直线a上任取2个点(例举略)，从直线b上任取1个点，共有6×5＝30种方法．故满足条件的三角形共有40＋30＝70(个)．
二．填空题
10．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．
【答案】18 【解析】从4名男医生中选2人，有6种选法(例举略)．从3名女医生中选1人，有3种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为6×3＝18.
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
【答案】 【解析】从编号为1,2,3,4,5,6的六个球中任意取出两个球的方法有15种(例举略)．当两个球编号均为奇数时，得到的编号之积才为奇数，故取出的两个球的编号之积为奇数的方法有3种，则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为＝，所以取出的两个球的编号之积为偶数的概率为1－＝.
12．(2023年淄博一模)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种．
【答案】90 【解析】第一步，从6项工程选2项给甲公司，有15种选法(例举略)；第二步，从剩下的4项工程选2项给乙公司，有6种选法(例举略)；第三步，剩下的2项工程给丙公司．故不同的承包方案有15×6×1＝90(种)．
13．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则乘积为偶数的有______个，不同的乘积结果有______个．
【答案】7 8 【解析】从五个不同的数中任取两个数共有10种不同的取法，其中乘积为偶数的有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，共7种，又1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．
三．解答题
14．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
解：(1)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A,4个白球中选2个有6种选法(例举略)，5个黑球选1个有5种选法，∴A共有6×5＝30种不同的结果．
(2)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的情况有2白1黑(由(1)知共有30种不同的结果)，及3白(易知有4种的结果)两种情况，故有30＋4＝34种不同的结果．
15．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，从4名只能胜任英语翻译工作中选2名，有6种选法(例举略)，从3名只能胜任德语翻译工作中选2名，有3种选法(例举略)，最后根据分步乘法计数原理，共有6×3＝18种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，先从4名只能胜任英语翻译工作中选3名，有4种选法(例举略)，再从3名只能胜任德语翻译工作中选1名，有3种选法(例举略)，最后根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，先从4名只能胜任英语翻译工作中选3名，有4种选法(例举略)，再从3名只能胜任德语翻译工作中选2名，有3种选法(例举略)，最后根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种选法．根据分类加法计数原理，一共有18＋12＋12＝42种不同的选法．第六章 6.2.3组合
一．选择题
1．(多选)下列问题是组合问题的是( )
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，有多少种不同的结果
D．从10个里选3个人去开会，有多少种选法
2．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种
C．10种 D．6种
3．将2名女教师、4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．10种
C．12种 D．9种
4．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，则所有不同的组合有( )
A．8个 B．10个
C．12个 D．14个
5．4张卡片上分别写有“中”“国”“你”“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”“国”的概率为( )
A． B．
C． D．
6．(2023年驻马店期末)2021年第十四届全国运动会的吉祥物“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”深受大家的喜欢．现有“朱朱”“熊熊”布偶各1个，“羚羚”“金金”布偶各2个，从这6个布偶中随机抽取2个，则这2个布偶不一样的概率是( )
A． B．
C． D．
7．(2023年辽宁期末)学校开设甲类选修课3门，乙类选修课4门，从中任选3门，甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为( )
A．24 B．30
C．60 D．120
8．(多选)下列问题是组合问题的是( )
A．若集合A＝{a，b，c，d}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个
B．从7本不同的书中取出5本捐给图书馆
C．6个人相互写一封信，共写了几封信
D．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
9．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( )
A．70个 B．80个
C．82个 D．84个
二．填空题
10．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
12．(2023年淄博一模)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种．
13．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则乘积为偶数的有______个，不同的乘积结果有______个．
三．解答题
14．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
15．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
