绝密★启用前
【新结构】2023-2024 学年湖南省长沙市第一中学高三年级第二学期 2
月份月考数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量 a (2,1) ，b (1,m)，若 a b ，则m ( )
1 1
A. B. C. 2 D. 2
2 2
2.函数 y sin(
3
x)的图象( )
2
A.关于 y轴对称 B.关于原点对称
C.关于直线 y x对称 D.关于直线 y x对称
3.若集合 M满足：M ,若a M ,则 a M ，则称集合 M是一个“偶集合”.已知全集
A {x | x 1},B {x | x 1}，那么下列集合中为“偶集合”的是( )
A. A B B. A B C. A ( RB) D. ( RA) B
4.已知数列 an 的前 5项分别为 1，3，3，5，5，该数列从第 5项起成等差数列，且 S12 108，则该等差数
列的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.现有 10份不同的食品，其中有 2份不合格．每次取出 1份进行检测，直到 2份不合格的食品全部辨别出
为止．若最后 1份不合格食品正好在第 3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为( )
A. 16 B. 20 C. 28 D. 32
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6.如图所示．已知圆 O的半径为 2，过 C作圆 O的两条切线，切点分别为 M，N，若MN 3OM ，则对角
线 AC长度为( )
A. 2 2 B. 2 4 2 C. 10 2 2 D. 4 2 2
3
7.已知 sin 2 ，则 sin cos
=( )5 12 12
A. 3 1 B. 2 3 1
11 13
C. D.
20 20 20 20
8.三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AB BC ， AB BC 2.PA 2 3，点 D是面 PAB内的动点 (
不含边界 )， AD CD，则异面直线 CD与 AB所成角的余弦值的取值范围为( )
A. ( 5 , 2 ) B. ( 10 , 2 )
10 2 10 2
C. ( 5 , 3 ) D. ( 10 , 3 )
10 2 10 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数 f x x3 3x 1，下列说法正确的是( )
A. f (x)有两个极值点 B. f (x)的图象关于原点对称
C. f (x)有三个零点 D. f (x)零点之积为 1
10.在平面直角坐标系 xOy中，点 A 1,0 ，动点M x0 , y0 x0 0 ，记 M到 y轴的距离为 d.将满足 AM d 1
的 M的轨迹记为 ，且直线 l : kx y k 0与 交于相异的两点 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，则下列结论正确
的为( )
A.曲线 的方程为 y2 2x
B.直线 l过定点 1,0
C. y1 y2 的取值范围是 , 4 4,
D. AP AQ 的取值范围是 ,4
11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯
片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记 A表示事件“某芯片通
过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量
N 5.40,0.052指标 服从正态分布 ，现从中随机抽取 M个，这 M个芯片中恰有 m个的质量指标 位于区
间 5.35,5.55 ，则下列说法正确的是( )参考数据：
P( ) 0.6826,P( 3 3 ) 0.9974.
A. P(B A) P(B)
B. P(A B) P(A B)
C. P 5.35 5.55 0.84
D. P m 45 取得最大值时，M的估计值为 53
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 z 为复数 z的共轭复数，若复数 z满足 z 2 2z 3 0，则 z z _____.
13.已知 ABC为等腰直角三角形， AB AC ,点 O为 ABC的重心，若以 A、O为双曲线 E的两顶点，
且双曲线 E过点 B，则双曲线 E的离心率为_________.
14.海边近似平直的海岸线上有两处码头 A、B，且 AB 3km.现有一观光艇由 B出发，同时在 A处有一小艇
出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在 M处成功拦截观光艇，完成补给．若两船都做匀速直
线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，
则拦截点 M距离海岸线的最远距离为_________.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13分 )
已知直线 y kx与函数 f (x) x ln x x2 x的图象相切．
(1)求 k的值；
(2)求函数 f (x)的极大值．
16. (本小题 15分 )
已知在直角梯形 ABGH中， AB / /GH ， AB BG， AB 5， HG 1， BAH 60 ，C、D分别为线
段 BG与 AH的中点，现将四边形 CDHG沿直线 CD折成一个五面体 AED BFC (如图 ).
(1)在线段 BF上是否存在点 M，使CM / /平面 ADE.若存在，找出点 M的位置；若不存在，说明理由；
(2)若二面角 F DC B的大小为 60 ，求平面 ADE与平面 DEFC所成夹角的余弦值．
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17. (本小题 15分 )
新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重 .2023年，随着技术进步，新能源车
的渗透率继续扩大.将 2023年 1月视为第一个月，得到 2023年1 10月，我国新能源汽车渗透率如下表：
月份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
渗透率 y% 29323432333436363638
(1)假设自 2023年 1月起的第 x个月的新能源渗透率为 y% ，试求 y关于 x的回归直线方程，并由此预测 2024
年 1月的新能源渗透率；
(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在 2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在 2024年 6月 1日
前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.某 4S店为促进销售，于 2024年
1月推出为购买燃油车的客户代付购置税的优惠活动。已知该店共有 5销售员，基本工资均为 5000元，销
售员每销售一辆新能源车和燃油车的提成分别为客户实际支付车价的1%和 0.5%。当月该店共销售了原始
价格平均为 20万元的 28辆车。假设以 (1)中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，求 4S
店 1月份发放给所有销售员工资总和的期望 .(工资=基本工资+提成，客户实际支付车价=客户实付总额-应
付购置税 )
n
xi yi nx y
附：一组数据 x1, y1 ， x , y i 12 2 ， xn , yn 的线性回归直线方程 y b x a 的系数公式为：b n ，
x2i nx 2
i 1
10
a y b x ；参考数据： xi yi 1936 .
i 1
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18. (本小题 17分 )
已知定点 R 2,0 ，圆 S : x2 y2 4x 44 0，过 R点的直线 L1交圆于 M、N两点，过 R点作直线 L2 / /SN 交
SM于 Q点.
(1)求点 Q的轨迹方程 C；
(2)(i)曲线 C上有两个点 A、B，直线 OA和 OB的斜率之积为 1，问是否存在实数 ，使得
OA 2 OB 2 OA 2 OB 2 .
(ii)在 (i)的条件下，设 OA的斜率为 k，已知 2 k 2，求 S AOB的最小值.
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19. (本小题 17分 )
已知数列 an 与数列{bn}满足下列条件：① an 1,0,1 ,n N * ；② b *n 0,n N ；
bn 1
③ ( 1)n a
1
n an 1 ,n N
*.
b 2 记数列{bn}的前 n项积为Tn .n
(1)若 a1 b1 1， a2 0， a3 1， a4 1，求T4 ；
(2)是否存在 a1，a2，a3，a4，使得 b1，b2，b3，b4成等比数列？若存在，请写出一组 a1，a2，a3，a4；
若不存在，请说明理由；
(3)若 b1 1，求T100 的最大值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
直接利用向量垂直的坐标表示求解即可.
【解答】
解：因为 a b，所以 a b 2 m 0 ，解得 m 2 .
故选 C
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．
由诱导公式可得 y sin(
3
x) cos x，由 cos( x) cos x为偶函数，可知其图象关于 y轴对称．
2
【解答】
解：因为函数的定义域为 R，又因为 y sin(
3
x) cos x ，
2
由 cos( x) cos x为偶函数，所以关于 y轴对称．
故选 A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的新定义，集合的交、并、补的运算，属于中档题.
分别求出 A B ， A B， A ( RB)， ( RA) B，利用“偶集合”的定义逐一判断即可.
【解答】
解：因为 A {x | x 1},B {x | x 1} ，所以 A B x | x 1 ，
因为 2 A B ，但 2 A B ，故 A错误，
A B x 1 ，因为 3 A B ，但 3 A B ，故 B错误，
RB {x | x 1} ，所以 A ( RB) ，不合题意，所以选项 C的说法是不正确的，
RA {x | x 1} ，所以 ( RA) B {x | 1 x 1} ，
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满足对 a [( RA) B], a [( RA) B] ，所以 ( RA) B 是一个“偶集合”，所以 D正确，
故选D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的前 n项和公式等，属于基础题.
从第五项开始直接利用等差数列的前 n项和公式即可.
【解答】
解：设该数列为 an .依题意，得 a5 ， a6 ，…， an ，…，成等差数列，
8 7
设公差为 d， a5 5 ，所以 1 3 3 5 5 8 d 108 ，解得 d 2 .故选 B.2
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合的应用，属于基础题.
利用排列组合以及分步乘法计数原理即可.
【解答】
解：由题意得，前 2次检测出 1份不合格，1份合格，第 3份为检测出第 2份不合格，
先选出 1份合格，有 C18 种，再选出 1份不合格，有 C
1
2 种，两份可在第一次和第二次顺序上进行全排列，
则前三次不同检测方案的种数为 C1 1 28C2A2 32 ，
故选D.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线的性质，三角函数的应用等，属于基础题.
先利用已知条件求出ME
1
MN 3 .然后利用三角函数得到
2 MOE 60
即可.
【解答】
解：记 OC与 MN相交于 E，过 O作 AB的垂线，与 AB相交于 F点，如图所示，
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OM 2 1， MN 3OM 2 3 ，则 ME MN 3 .2
在 Rt MOE sin MOE ME 3中， ，则 MOE 60 .
MO 2
Rt MOC 中， OC 2OM 4 .
Rt AOF 中， OF 2 ， OAF 45 ，则 OA 2 2 ，
所以 AC OC OA 4 2 2 .故选D.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查两角差的余弦公式等，属于基础题.
先变形，然后利用两角差的余弦公式和倍角公式等即可.
【解答】
解： sin
cos sin( )cos( )
12 12 12 12 6
3 1 cos(2
)
sin( ) cos( )cos sin( )sin
sin(2 ) 6
12 12 6 12 6 4 6 4
1 sin(2 ) 1 3 1 11 .
2 6 6 4 10 4 20
8.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题.
2 2 3
先建立空间直角坐标系，然后由 AD BD ，可得 x 2x z 0(0 x ) ，然后利用空间向量的数量积2
即可.
【解答】
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解：如图，因为 PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以 PA BC .
又因为 AB BC ， PA AB A ，PA、 AB 平面 PAB，
所以 BC 平面 PAB，
AD 平面 PAB ，所以 AD BC ，又 AD CD
BC CD C ，BC、CD 平面 BCD，
所以 AD 平面 BCD ，所以 AD BD .
如图，以 A为坐标原点， AB,BC, AP 的方向为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2 3),D(x,0, z) ，
AD BD x2 2x
3
由 ，可得 z2 0(0 x ) ，
2
AB (2,0,0),CD (x 2, 2, z)
设异面直线 CD与 AB所成角为 ，则
AB CD
cos cos AB,CD 2(2 x) 2 x
AB CD 2 (x 2)2 4 z2 2 4 x
10 2
令 4 x t ，则 t ( , 2) ， cos
t 2 1 2
(t ) ，
2 2t 2 t
f (t) t 2易知 在 ( 10 ,2) 2 10 5 2上单调递增，此时 t ( ,1) ，故 cos ( , ) .
t 2 t 10 10 2
故选 A.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
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本题考查利用导数研究函数的单调性的方法、极值以及函数零点的判断方法，属于中档题．
利用函数 f (x)的奇偶性判断 B选项，再利用导数的变号零点的个数判断 AC选项，结合
f x x3 3x 1 (x x1)(x x )(x x ) x32 3 (x1 x2 x3)x2 (x1x2 x1x3 x2x3 )x x1x2x3 可判断 D选项．
【解答】
3 2
解：对于函数 f x x 3x 1 ，求导可得： f x 3x 3 3 x 1 x 1 ，令 f x 0 ，解得 x 1 ，
可得 f (x) 在 , 1 上单调递增，在 1,1 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．
所以 f (x) 极大值为 f 1 3 ，极小值 f 1 1 ，所以选项 A正确，C正确．
由 f 0 1 知，B错误．
对于 D，由 C可设 f (x) 的三个零点分别为 x1, x2 , x3 ，
3
则 f x x 3x 1 (x x1)(x x2)(x x 33) x (x1 x2 x3)x2 (x1x2 x1x3 x2x3 )x x1x2x3 ，
所以 x1 x2 x3 1 ，选项 D正确，
故选 ACD.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】本题考查曲线方程，抛物线方程以及性质，直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的
定点问题，属于中档题.
对于 A：由题意结合抛物线的定义，得到点 M的轨迹方程为 y2 4x，可判定 A不正确;对于 B：把直线化
简为 y k (x 1)，可判定 B正确;对于 C：联立方程组，结合韦达定理，先求出 k的范围，可判定 C正确，
可判定 D正确.
【解答】解：
由题意，点 M到 y轴的距离为 d，将满足 AM d 1 的 M的轨迹记为 ，即点 M到 x 1 轴的距离和
点 M到 A 1,0 的距离相等，结合抛物线的定义，可得点 M的轨迹为以 A 1,0 为焦点，以 x 1 为准
线的抛物线，所以点 M的轨迹方程为 y2 4x ，所以 A不正确；
由直线 l : kx y k 0 ，可化为 y k (x 1) ，直线 l必过定点 1,0 ，所以 B正确；
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{#{QQABJYCAggAoAAJAAQhCAwkqCkAQkAGACIoGQEAIIAAByANABAA=}#}
2
联立 y k(x 1)y2 4x 4 2k，整理得 k 2x2 (2k 2 4)x k 2 0 ，可得 x1 x2 2 , x1x2 1.k
又由 (2k 2 4)2 4k 4 0 ，即 k 2 1 ，解得 1 k 1 ，且 k 0.
4
所以 y1 y2 , 4 4, 所以 C正k
确． AP AQ x1 1 x2 1 y1y2 x1x2 x
4
1 x2 1 y1y2 1 1 4 x1 x2 8 2 , 4 ，k
由此判断 D正确．
故选： BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布、条件概率等，属于较难题.
直接利用题意判断 A即可；
利用条件概率、全概率公式等进行转化判断 B即可；
利用正态分布的性质判断 C即可；
45 45
设 f x Cx 0.84 0.16 x 45 .然后判断出这个函数的单调性即可判断D.
【解答】
解：由题意 P(B A) P(B) ，故 A正确；
对于 B，由 P(A) P(B A) P(A) P(B) ，所以 P(AB) P(A) P(B) ，
又 P(AB) P(AB) P(A) P(B A) P(A) P(B A) P(A) ，所以 P(AB) P(B) P(AB) P(AB) ，
P(AB) P(AB) P(AB) P(AB)
即 P(AB) P(AB) P(B) P(B) P(AB) ，所以 ，即 ，所
P(B) 1 P(B) P(B) P(B)
以 P(A B) P(A B) ，故 B错误；
对于 C选项，由 P 5.35 5.55 P 5.40 0.05 5.40 3 0.05 P X 3
P X P 3 X 3 0.6826 0.9974
又 P X 3 0.84 ，故 C
2 2
正确；
对于 D选项， m ~ B M ,0.84 ， P m 45 C 45M 0.8445 0.16M 45 ，设 f x C 45 0.8445 0.16 x 45x .
f x 1 C 45x 1 0.8445 0.16 x 44 0.16 x 1令 45 1 ，f x Cx 0.8445 0.16 x 45 x 44
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x 1104所以 52.5 ，所以 f 53 f 52 ，
21
f x C 45x 0.8445 0.16 x 45 x
令 0.16 1
f ，x 1 C 45 45 x 46x 1 0.84 0.16 x 45
x 375 53 4所以 ，所以 f 53 f 54 ，故 P m 45 最大时 M的估计值为 53，D正确．故选 ACD.
7 7
12.【答案】 2
【解析】【分析】
本题主要考查复数、实系数方程的根等，属于基础题.
利用韦达定理即可.
【解答】
解：对于方程 x2 2x 3 0 ， 4 4 3 0 ，
由题意可知， z、 z 是关于实系数方程 x2 2x 3 0 的两个虚根，
由韦达定理可得 z z 2 .
故答案为： 2 .
13.【答案】2
【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，关键是建立坐标系，利用方程方法求解.
建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线 E过点 B，求得 b的值，进而计算 c，求得离心率.
【解答】
解：不妨设 AO 2,D 为 BC的中点，则 OD 1, AD 3,
由于 ABC为等腰直角三角形， AB AC , 所以 BD 3 .
以 AO中点 O 为原点， AD所在直线为 x轴， AO的中垂线为 y轴建立直角坐标系，
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AO 2 ， AO O O 1 ，即双曲线的半实轴长 a 1 ，
2
x y
2
双曲线的方程可以设为： 2 1 ，将 B的坐标 2,3 ，代入解得1 b b 3 ， c 2 ，
e c 2 .
a
14.【答案】2km
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理和函数模型的应用等，属于中档题.
2 2 2
先设 BM x ，则 AM 2BM 2x ， x 1,3 . 3 x 2x 3 x然后利用余弦定理求出 cos ，
2 3 x 2x 2
然后利用函数模型即可.
【解答】
解：设 BM x km，则 AM 2BM 2xkm， x 1,3 .
32 x2 2x 2 3 x
设 ABM ，则 cos ，
2 3 x 2x 2
2
xsin x2 1 cos 2 x2 1 x 3 1 2所以 x
2 5 4 ，
2 2x 4
当 x2 5 时， xsin 2max ，所以拦截点 M距离海岸线的最远距离为 2km.
15.【答案】解： (1)由已知，设切点为 (x0 , x0 ln x0 x
2
0 x0 )
f (x) ln x 2x 2 ，故切线的斜率为 k ln x0 2x0 2 ，
即切线方程为 y (x0 ln x
2
0 x0 x0 ) (ln x0 2x0 2)(x x0 ) ，
代入 (0,0) ，即 x20 x0 0 ，解得 x0 1 ，故 k 0 .
(2)由 (1) f (x) ln x 2x 2 ，设 g(x) ln x 2x 2 ，则 g (x)
1
2
x
令 g (x)
1 1
0 ，得 x .当 x (0, ) 时， g (x) 0 ；当 x (
1
, ) 时， g (x) 0 ，
2 2 2
从而 g (x) 在 (0,
1) 上单调递增，在 (
1 , ) 上单调递减，
2 2
故 g(x) g(1) 1 2 1 ln 2 0 ，又 g( ) 0 ， g (1) 0 ，
2 e2 e2
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1 1
所以存在 x1 ( 2 , ) ， g(x1) 0 ，e 2
综上可得当 x (0, x1) 时， f (x) 0 ；当 x (x1,1) 时， f (x) 0 ； x (1, ) ， f (x) 0 ，
从而 f (x) 在 (0, x1) ， (1, ) 上单调递减，在 (x1,1) 上单调递增，
故 f (x) 存在唯一极大值 f (1) 0 .
【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等，属于中档题.
(1)设出切点，然后利用导数的几何意义即可；
(2)先利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.
16.【答案】证明： (1)存在， M为 BF的中点，证明如下：
取 BF中点 M，取 AE中点 N，连接 CM、 MN、 DN .
C 、 D为梯形 ABGH两腰中点， M、 N为梯形 ABFE两腰的中点，
CD 与 MN平行且相等，
则四边形 CMND为平行四边形，得 CM / /DN .
CM 平面 AED， DN 平面 AED，
CM / / 平面 AED .
解： (2)由题意，可知 FC CD ， BC CD ， FC BC C ，FC、 BC 平面 FCB，
所以 CD 平面 FCB，
又CD 平面 ABCD，
即平面 ABCD 平面 FCB，同时 FCB 即为二面角 F DC B 的平面角，
所以 FCB 60
又因为 FC CB ，故 FCB 为等边三角形，
在直角梯形 ABGH中， AB / /GH ， AB BG ， AB 5 ， HG 1 ， BAH 60 ，
可得 BG 4 3 ，故 FC BC BF 2 3 .
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过 F作 FO BC 于点 O，易知 O为 BC的中点，如图以点 O为原点，建立空间直角坐标系．
A(5, 3, 0) ， D(3, 3,0) ， E (1, 0,3) ， C (0, 3,0)
设平面 DEFC的法向量为 m (x1, y1, z1) ， DE ( 2, 3,3) ， DC ( 3,0,0) ，
所以 DE m 0DC m 0 ，即 2x1 3y1 3z1 0 3x1 0 ，
取 y1 3 ，得 x1 0 ， z1 1 ，
即 m (0, 3, 1) 是平面 DEFC的一个法向量．
( 亦可取 FC中点 T，向量 BT 也是一个法向量 )
设平面 ADE的法向量为 n (x2 , y2 , z2 ) ， DE ( 2, 3,3) ， DA (2, 2 3, 0) ，所以
DE n 0DA n 0 ，即 2x2 3y2 3z2 02x2 2 3y2 0 ，取 x2 3 ，得 y2 1 ， z2 3 .
即 n ( 3, 1, 3) 是平面 ADE的一个法向量．
设平面 ADE与平面 DEFC所成夹角为 ，则
cos cosm, n m n 2 3 21 m n .2 7 7
21
综上，平面 ADE与平面 DEFC所成夹角的余弦值为 .
7
【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档
题．
(1)取 BF中点 M，取 AE中点 N，连接 CM、MN、DN，可得四边形 CMND为平行四边形，得CM / /DN ，
再由线面平行的判定可得CM // 平面 AED；
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(2)由二面角 F DC B的大小为 60 可得 FCB 为等边三角形，以点 O为原点，建立空间直角坐标系，
分别求出平面 ADE与平面 DEFC的法向量，可得二面角的余弦值．
17.【答案】解： (1)计算得 x 5.5 ， y 34 ，
10
xi yi 10x y
b i 1 1936 10 5.5 34 66所以 10 0.8 ，
x2 10x 2 385 10 5.5
2 82.5
i
i 1
a y b x 34 0.8 5.5 29.6 ，
则回归直线方程为 y 0.8x 29.6 ，代入 x 13 得 y 40 ，
所以预测 2024年 1月新能源渗透率为 40% .
(2)设 4S店 1月份发放给销售员工资总和为 Y，
由 (1)
2 3
可知客户购买新能源车的概率为 ，燃油车概率为 ，设 28辆车中新能源车为 X辆，则燃油车
5 5
为 (28 X ) 辆.
X ~ B(28, 2) E(X ) 28 2 56， ，
5 5 5
由题意可得，该店销售员的总提成
为
200000 X 1% [200000 (28 X ) 200000 (28 X ) 10%] 0.5% 2000X 900(28 X ) 25200 1100X
因此 Y 5 5000 25200 1100X 50200 1100X
E(Y ) E(50200 1100X ) 50200 1100E(X ) 50200 1100 56 62520
5
即 4S店 1月份发放给所有销售员工资总和的期望为 62520元.
【解析】本题主要考查回归直线方程、函数模型的应用等，属于中档题.
(1)先计算得 x 5.5 ， y 34 ， 然后利用已知公式计算得到回归直线方程，然后代入即可；
(2)先利用二项分布得到 28辆车中新能源车辆数的期望，然后利用函数模型即可.
18.【答案】解： (1)由题意有： QS QR QS QM SM 4 3 4 SR ，
所以点 Q的轨迹为椭圆，其中 a 2 3,c 2 ，则 b2 8 ，所以点 Q的轨迹为椭圆：
x2 y2
1 y 0 ，
12 8
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(2)(i)设直线 OA的斜率为 k，则直线 OA的方程为： y kx .
x2 2
y kx
y
1 y 0 ，解得： 2 24 3k 212 8 x
2 24 x 2A ，
2 3k 2
24 1 k 2 2 22 1 24k 24 k 1 所以 OA 2 ，同理 OB
2
1 ，
3k 2 k 2 2k 2 3 2k 2 3
1 1 2 3k 2 2k 2 3 5
所以 2 2
5
OA OB 24 k 2 1 24 k 2 1 24 ，即 ，24
1 1 2 2 2(ii)由题意有： S AOB OA OB sin AOB OA OB OA OB2 2
24 1 k 2 24 k 21 1 242 4 k 2
12 k
4 2k 2 1
，
2 2 3k 2 2k 2 3 2 3k 2 2k 2 3 6k 4 13k 2 6
2
t k 2令 2,4 ，则 S AOB 12
t 2t 1 .
6t 2 13t 6
2 25(t 2t 2t 1 f t 1)令 f (t) 2 ,t [2,4] ，则 06t 13t 6 6t 2 2 13t 6 .
所以 f t 在 2,4 上单调递增.
t 2 3 14 3 14当 时， S AOB ，所以 S 的最小值为 .7 AOB 7
【解析】本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题、直线与椭圆的位置关系等，属于较难题.
(1)利用椭圆的定义判断，并求出椭圆方程即可；
(2)(i)列出直线 OA的方程为： y kx .然后与椭圆方程联立，即可求解；
(ii)结合三角形面积公式
4
S k 2k
2 1
AOB 12 ，求导解决即可.6k 4 13k 2 6
b 1 b
19. (1) 2 a a 1 b 1 3
1 1
【答案】解： 由 1 2 ，得 2 ，由 a2 a3 b
1
，得 3 ，b1 2 b2 2 2 2
b4
由 | a
1 3 3 3
b 3
a
2 4
|
2 ，得 b4 ，所以 T4 b4 1
b2 b3 b4 .
3 8
(2)不存在．假设存在，设 b1， b2，b3， b4公比为 q，
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b
b 0 2
b
若 1 ，则b2 0， b3 0，b4 0，公比 q 0 ， q
3 0
b b ，矛盾．1 2
b b
若 b 2 31 0，则 b2 0， b3 0，b4 0，公比 q 0 q 0b ， b ，矛盾．1 2
假设不成立，故不存在．
(3)由题意， b1 1 0，且 b4k 3 0， b4k 2 0，b4k 1 0， b4k 0，
q a 1
b
a q {0, 1 ,1, 3} n 1设 n n n 1 ， n ， qn ，得 bn 1 qn bn ，进一步得到 b2 2 2 b n 2
qn qn 1 bn ，显
n
q q 9 3 1然 n n 1 的值从大到小依次为 , ,1, , ，4 2 2
q q 9
3 3
若 n n 1
，则 qn qn 1 ，当 an : 1, 1,1, 1, 或 1,1, 1,1, 可以取得．4 2 2
9 9 n 1 9 n 1
因此 b n 2 bn ，所以 b b4 2n 1 4 1 ， 4
n 1 n 1 n 1
b2n
9 b 9 3 3 b 9 4 2 4 2 1 2 ， 4
|T2024 | | b1 b2 b3 b100 | | b1 b3 b5 b99 | | b2 b4 b6 b100 |
[1 9 (9)2 (9 )49 ] (3 )50 [1 9 (9)2 (9)49 ]
4 4 4 2 4 4 4
3 9
( )50 ( )2 1 2 3 49 (3)4950
2 4 2
T 0 3 4950又 2024 ，所以 (T .2024 )max ( )2
【解析】本题主要考查数列的递推公式、等比数列的判定等，难度较大.
(1)利用已知数据直接求出即可；
(2)分两种情况讨论即可；
(3) q a 1 9
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
a 9 9 9 3 3 9 先设 n n n 1 ，然后分析出 b2 2n 1
b1 ，，b2n 4 4 4 b2 b1 ， 4 2 2 4
然后求出T100 的最大值即可．
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