2023-2024 学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测
高三数学答案
（分数：150 分，时间：120 分钟）
1．B 2．A 3．C 4．C
5．D【解析】根据选取特殊值可排除 AB，利用偶函数的定义可以排除 C，根据奇函数和复合函数的单调
性质判断 D.
6．B【解析】可判断函数 在 上单调递增，且 ，所以 .
7．A【解析】设圆 与 的三边 、 、 分别相切于点 ，连接
, ， ， 可看作三个高均为圆 半径 的三角形 利用三角形面积公式，代
入已知式 ，化简可得 ，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得
所求．
8．A【解析】利用奇函数得到 ，再判断 ，利用二次求导判
断 在 上单调递增，从而可判断 .
9．ABD
10．BD
11．ABD【解析】对于 A，取直线 ，讨论 与 的符号判
断 A；对于 B，C，令隔离直线为 ，利用二次不等式恒成立计算判断 B，C；对于 D，函数
与 有公共点 ，求出 在点 处的切线，再证明此切线与 图象关系作答.
12．2
13．
14．
15．（1）设圆 的方程为 ，则 ，
解得 ，所以圆 的方程为： ，
圆心为 ，半径为 ；
（2）由（1）知，圆心到直线 的距离为 ，
于是当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意；
当直线斜率存在时，不妨设直线方程为 ，
即 ，令 ，解得 ，直线方程是 ，
综上所述，直线 的方程是： 或 .
16．（1）由题意得若对 植株进行自交，产生 ， ， 的概率比为 ，
故在个数比为 的 ， ， 植株个体进行自交时，
其亲代 ， ， 的概率比为 ，
而亲代 进行自交，产生 ， ， 的概率比为 ，故概率为 ，
（2）①记第 代 的概率为 ，
子一代进行自交时 ，子二代进行自交时 ，
故可递推出 ，易得 ，
而令 ，而 ，则有 ，
故数列 为等比数列得证.
②由上问知 ，且当 时， ，故该方案可行.
17．（1）证明：以 D 为原点，以 DA，DC， 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图空间直角坐
标系，
设 ，则 ， ， ， ，
， ．
因为 ，所以 ，即 ．
（2） 时， ，
由（1）知 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以 为平面 的一个法向量．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（1）设经过 分针就与时针重合， 为两针一天内重合的次数.
因为分针旋转的角速度为 ，
时针旋转的角速度为 ，所以 ，
即 .
（2）因为时针旋转一天所需的时间为 （ ），
所以 ，于是 ,
故时针与分针一天内只重合 22次.
19．（1）解：由函数 ，可得 ，
则 且 ，
所以 的方程为 ，即
因为函数 的零点 的近似值，即 ，所以 ，
可得
又因为 ，所以 的直线方程为
令
其中 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，也为最大值 ，即 ，
所以在直角坐标系中，智能运货总干线 上的点不在直线 的上方.
（2）解：由曲线 且 ，
令 ，
要使得两条运货总干线 、 分别在各自的区域内，则满足 恒成立，
又由 ，令 ，可得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
当 时，函数 取得最小值，
最小值为 ，
令 ，即 ，
即 ，
即 ，
因为 ，可得 ，
又因为函数 的零点 的近似值，即 ，所以 ，
则 ，
又由 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .2023-2024 学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测
高三数学试题
（分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．2022年 2月 27日，长征八号遥二运载火箭搭载 22颗卫星成功发射，创造中国航天“一箭多星”的最高
纪录，打破了长征六号火箭创造的“一箭 20星”纪录．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大
速度 （单位： ）和燃料的质量 M（单位：kg）、火箭的质量（除燃料外）m（单位：kg）的关系
是 ．为使火箭的最大速度达到 9000m/s，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据
）（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
2．在平面直角坐标系 中，锐角 顶点在坐标原点，始边为 x轴正半轴，终边与单位圆交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝ ，令 Tm＝|am+am+1+…am+4|（m∈N*），则
Tm的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．3
4．已知 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 是双曲线 右支上一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点， 为
的内心，若 成立，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 ， ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 2分。
9．已知函数 = ，下列结论不正确的是（ ）
A．定义域为 B．定义域为
C．定义域为 D．定义域为
10．对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A．若 a＞b，则
B．若 a＞b，则 ac2≥bc2
C．若 a＞0＞b，则 a2＜﹣ab
D．若 c＞a＞b＞0，则
11．若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其定义域上的任意实数 都满足 和
恒成立，则称直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ，
， ，下列命题正确的是（ ）
A． 与 有“隔离直线”
B． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围为
C． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知向量 ， ，则 .
13．函数 的图象如图，则
的值为 ．
14．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 在线段 上， ， 分别在线段 ，
上，且 ， ， ，动点 在平面 内，若 ， 与平
面 的所成角相等，则线段 长的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知圆 过点 和点 ，圆心在直线 上.
(1)求圆 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若直线 经过点 ，且 被圆 截得的弦长为 4，求直线 的方程.
16．遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有 ， ， 三种基因型，根
据遗传学定律可知， 个体自交产生的子代全部为 个体， 个体自交产生的子代全部为 个体，
个体自交产生的子代中， ， ， ，个体均有，且其数量比为 ．假设每个植株自交产生的
子代数量相等，且所有个体均能正常存活．
(1)现取个数比为 的 ， ， 植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的
基因型为 ，求该植株是由 个体自交得到的概率；
(2)已知基因型为 AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农
科院研究人员为了获得更多的 植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的 Aa植株进行第一次自交，
根据植株表现型的差异将其子代中的 个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再
将第二次自交后代中的 个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断
地重复此操作，从第 次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为 AA的概率记为 （
且 ）
①证明：数列 为等比数列；
②求 ，并根据 的值解释该育种方案的可行性．
17．如图，在长方体 中， ， ，M为 的中
点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.
铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹
希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重
合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了 会与时针重合，一天内分针和时针重合 次.
(1)建立 关于 的函数关系；
(2)求一天内分针和时针重合的次数 .
19．我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元 429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千
年之久，德国数学家鲁道夫（公元 1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的 35位小数，随着科技
的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数
的零点 的近似值，为了实际应用，本题中取 的值为-0.57．哈三中毕业生
创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线 ，其在已经建
立的直角坐标系中的函数解析式为 ，其在 处的切线为 ，现计划再建
一条总干线 ，其中 m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出 的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线 上的点不在直线 的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线 ，计划将仓库中直线 与 之间的部分设为隔离区，两条
运货总干线 、 分别在各自的区域内，即曲线 上的点不能越过直线 ，求实数 m的取值范围．
