江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年高一上学期1月期末
数学试题
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
考试范围：必修一、必修二
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知是关于的方程的两个根．若，则( )
A． B．1 C． D．2
2．直线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
3．设，则( )
A． B． C． D．
4．抛物线上一点到焦点的最小距离为( )
A．1 B． C． D．
5．条件是条件的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分又非必要条件
6．已知，则圆与直线的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
7．在正方体中，点为棱AB上的动点，则与平面所成角的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．已知实数满足：，则的最大值为( )
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．设定点，动点满足，则点的轨迹可能是( )
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
10．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是( )
A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C．展开式中的常数项为540 D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
11．2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先．某科技博主从这19个领域中选取了A，B，C，D，E，F六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则( )
A．A，B在后3天介绍的方法种数为144 B．C，D相隔一天介绍的方法种数为96
C．不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504 D．在B，C之前介绍的概率为
12．已知函数，则下列结论正确的是( )
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是 D．在上有最小值，且最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若直线与直线垂直，则______.
14．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离是，则的渐近线方程为______.
15．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接______种．
16．已知为椭圆：上一点，为左、右焦点，设，，若，则该椭圆的离心率______.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在中，角所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，求的值．
18．(本小题满分12分)丰城市A，B两校组织了一次数学联赛（总分120分)，两校各自挑选了数学成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀，赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间内),将这些数据分成4组：.得到如下两个学校的频率分布直方图:
(1)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金(单位:百元）与其成绩t的关系为若以奖学金的总额为判断依据，本次联赛A、B两校哪所学校实力更强
(2)校规定：按照笔试成绩从高到低，选拔的参赛学生进行数学的专业知识深度培养，将当选者称为“数学达人”，按照校规定及该校频率分布直方图，估计校“数学达人”的分数至少达到多少分
19．(本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且分别为棱PC，AD的中点.
(1)求证：面PBC
(2)求点N到平面MBD的距离．
20．(本小题满分12分)已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点，且点是弦AB的中点，求直线的方程．
21．(本小题满分12分)如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记，将沿DE翻折到的位置并使得平面平面DECB，连接MB，MC得到图2，点为MC的中点.
(1)当平面MBD时，求的值；
(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变 如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
22．(本小题满分12分)设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆的右顶点和上顶点，且，若该粗圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于P，Q两点，且与轴交于点．若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值．
丰城重点中学2023-2024学年上学期高一期末考试数学答案
1. 2.B 3. 4. 5. 6. 7. 8.D
9. 10. 11.ACD 12.
13.2 14. 15.264 16.
17.(1)因为,根据正弦定理可得
在中,,所以有,
则有,即,
又,所以.
(2)根据余弦定理,,所以.
根据正弦定理,,则有,
所以.
18.(1)依题意,A校学生获得的奖学金的总额为:
(百元）(元）
校学生获得的奖学金的总额为:
(百元）(元）
因为,所以校实力更强.
(2)由样本频率分布直方图可知,参赛学生成绩位于的频率为0.2,
参赛学生成绩位于的频率为0.35,这两组频率之和为,
所以所求分数在,不妨设“数学达人”的分数至少为,
则,解得,
所以估计校“数学达人”的分数至少达到111.43分.
19.(1)在中,易知,且是PC的中点,
故,且在正方形ABCD中,,面面ABCD,
面面,面面ABCD,故面PCD,
易知面PCD,故,又,综上面PBC
(2)如图,以为坐标原点,过平行于DA的直线为轴,以OC,OP所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系,
则,.设平面MBD的法向量为,
由,得,取,得.
所以,又,所以点到平面MBD的距离
20.(1)圆x2+y2+2x=0的方程可化为,
故圆心的坐标为.
设抛物线的方程为,所以,所以,
所以抛物线的方程为.
(2)设,则两式相减,得,即,所以直线的斜率.
因为点是AB的中点,所以,所以.所以直线的方程为,即.
21.(1)取MB的中点为,连接DP,PN,因为,所以,又,所以,即N,E,D,P四点共面,又平面平面NEDP,平面平面,所以,即NEDP为平行四边形,所以,则,即.
(2)取DE的中点,连接MO,则,因为平面平面DECB,平面平面,且,所以平面DECB,如图建立空间直角坐标系,
不妨设,则,所以,设平面BMD的法向量为,则,即,
令,即.又平面EMD的法向量,所以,即随着值的变化,二面角的大小不变.且.所以二面角的正弦值为.
22.(1)由题可得,,
所以因为椭圆的离心率为.所以,结合椭圆中可知,.所以椭圆的标准方程为.
(2),设.
因为直线与直线的倾斜角互补,
所以可知,
即，
化简得.
设直线,
将代入上式,
整理可得.
且由消元化简可得
所以,代入上式
由，
解得.
所以.
因为点到直线PQ的距离,
且
所以.
令,则
所以,.
当且仅当时取等号.
所以的面积的最大值为.
