莱西市2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．．
2．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
3．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为（ ）
A．45 B．50 C．55 D．40
4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．9 B．18 C．27 D．54
5．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和乙去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．24种 B．54种 C．96种 D．120种
7．已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线与双曲线相交于两点，则满足的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．双曲线，点在双曲线上，为坐标原点，为双曲线的焦点，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线为
C．双曲线的焦距为 D．的最小值为
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
12．抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹方程为
B．若，则
C．的最小值为
D．在轴上不存在点，使得
三、填空题：本题共4-小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．
13．数列是等比数列，且前项和为，则实数___________．
14．的展开式中的系数为___________．（用数字作答）．
15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的地面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为___________．
16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
18．（12分）已知等差数列是单调递增数列，，且、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
（1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
（2）斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
20．（12分）某牧场今年年初牛的存栏数为1000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为．
（1）写出一个递推公式来表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中为常数．
（3）求其前10项和的值．（精确到1，其中）
21．（12分）已知正项数列的首项，前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
22．（12分）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
（1）求的标准方程．
（2）设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．
莱西市2023-2024学年高二上学期期末考试
数学答案
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．BC 10．ABD 11．ABD 12．ACD
13．2 14．84 15． 16．
17．解：（1）由题意，二项式展开式的通项公式
所以第三项系数为，第四项系数为
分由，解得，即的值为7
（2）由（1）知当时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
故展开式中有理项的系数之和为．
的通项公式为
（2）由（1）得
19．解：（1）由题意，双曲线渐近线方程为：，
双曲线的标准方程为：．
双曲线的右焦点为，
（2）设的方程为：
，消去得
．
20．解：（1）由题意，得，并且
（2）将化成．
即
（1）中的递推公式表示成
（3）由（2）可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，
21．解．（1）
是首项为1，公差为1的等差数列
，即
当时，
当时，符合上式
（2）
两式相减：
22．解（1）由题意知
的方程为
（2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为
联立方程组
消去得，
由且得，且
设存在符合条件的定点，则
常数，，
解得．此时该常数的值为56，
所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．
