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沧州市2023—2024学年第一学期期末教学质量监测
高一数学
班级__________姓名__________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则命题p的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点在第二象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
7．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的一个周期
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的图象关于直线对称
D．函数与为同一个函数
11．下列说法正确的有（ ）
A．若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是
B．已知，则
C．函数在其定义域上单调递减
D．若幂函数的图象过点，则
12．已知，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，，则为锐角
D．若，均小于2，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集为__________．
14．函数的单调递增区间是__________．
15．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则__________．
16．已知函数，若，则实数a的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
计算：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
已知角的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完）
（1）求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21．（本小题满分12分）
已知函数的最大值为1．
（1）求实数a的值及函数的单调递惐区间；
（2）若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域．
22．（本小题满分12分）
因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增．
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
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高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B B C B A D ACD ACD AB ABD
1．A 解析：，，．故选A．
[命题意图]本题考查解绝对值不等式和集合的交集运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
2．C 解析：命题，的否定是，．故选C．
[命题意图]本题考查含有一个量词的命题的否定，考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．
3．B 解析：，，
且在上单调递增．函数的零点所在的区间是，故选B．
[命题意图]本题考查函数的零点存在定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
4．B 解析：由，可得，，“”是“”的必要不充分条件，故选B．
[命题意图]本题考查充分条件和必要条件的定义、解对数不等式，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于基础题．
5．C 解析：点在第二象限，，角的终边在第三象限，故选C．
[命题意图]本题考查三角函数在各个象限的符号问题、象限角的概念，考查学生综合运用知识的能力，属于基础题．
6．B 解析：，
当且仅当即时，等号成立，因此的最小值为，故选B．
[命题意图]本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑是解决本题的关键，考查学生灵活运用条件进行合理变形的能力以及运算求解能力，属于中档题．
7．A 解析：因为函数在R上单调递增．所以，解得，
即实数a的取值范围是，故选A．
[命题意图]本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查学生数形结合的思想方法，考查学生综合运用知识的能力，属于中档题．
8．D 解析：，，故选D．
[命题意图]本题考查三角函数值、指数幂的大小比较，合理运用函数的性质及不等式的放缩来比较，考查学生综合运用知识的能力和运算求解的能力，属于中档题．
9．ACD 解析：，，，即，，故A正确；
令，则，，．故B不正确；
，，．故C正确；
，，，，．故D正确．故选ACD．
[命题意图]本题考查不等式的基本性质及其应用，考查学生的数学运算素养，属于基础题．
10．ACD 解析：由于函数，故函数的最小正周期为，
所以也是函数的一个周期，故A正确；
当时，，故B不正确；
当时，，故C正确；
．故D正确．故选ACD．
[命题意图]本题考查三角函数的周期、对称轴、对称中心等图象性质，考查诱导公式的应用，考查学生综合运用知识的能力，属于基础题．
11．AB 解析：设这个扇形的圆心角为a，半径为r，
其弧长的值与面积的值都是5，，，解得．故A正确；
，，，则，故B正确；
对于C，，其定义域为，
，且．在其定义域上不是单调递减的，故C不正确；
当时，，，故D不正确．故选AB．
[命题意图]本题考查扇形的面积和弧长公式，指数与对数互化运算，函数单调性的定义以及幂函数的定义，考查学生分析问题和运算求解的能力．属于中档题．
12．ABD 解析：、是关于x的方程的两个不相等的实数根，
，或．
由根与系数的关系得，，
，则，，．故A正确；
令，若，则，得，故B正确；
若，且，，则．
由，，
，，
为钝角，故C不正确；
若、均小于2，则即
，故D正确，故选ABD．
[命题意图]本题考查一元二次方程的根的分布，根与系数的关系，两角和的正切公式．零点存在定理，考查学生综合运用知识的能力、逻辑推理能力和数学运算能力．属于难题．
13． 解析：，即，则且．解得，
不等式的解集为．
[命题意图]本题考查分式不等式的解法，考查学生变形转化和运算求解的能力，属于基础题．
14．（写成也正确） 解析：由，
，解得，的定义域为，
设，则t的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，所以t在上单调递增，
在上单调递减，由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）．
[命题意图]本题考查复合函数的单调性，易错点在于确定函数的定义域，考查学生运算求解的能力，属于基础题．
15．1 解析：，，是的一个周期．
．
[命题意图]本题考查抽象函数的奇偶性、周期性应用，考查学生综合运用知识的能力，考查学生函数抽象、逻辑思维和运算求解的能力，属于中档题．
16． 解析：因为的定义域为R，又，所以为偶函数．
设，当时，，则，由对勾函数性质知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，所以，解得，
故实数a的取值范围为．
[命题意图]本题考查偶函数的定义及性质的综合应用，函数与不等式的应用，考查逻辑推理与转化化归能力．属于中档题．
17．解：（1）．
（2）
．
[命题意图]本题考查指数与对数的运算，考查学生运算求解能力，属于基础题．
18．解：由条件知，
（1）．
（2）
．
[命题意图]本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式、同角三角函数关系式，考查学式的灵活运用，考查学生运算求解的能力，属于基础题．
19．解：（1）当时，，当时，，．
是奇函数．．，
又，
（2）易得当时，单调聥增，则，
又是定义在R上的奇函数．时，也单调递增，且，
有两个不同的解，等价于与的图象有两个不同的交点，
实数a的取值范围为．
[命题意图]本题考查函数奇偶性的应用及函数解析式的求解，考查学生数形结合的思想和化归转化的能力，属于基础题．
20．解：（1）当时,;
当时．，
所以
（2）当时．，
（万元）；
当时．单调递增，
所以（万元），
因为，
所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元．
[命题意图]本题考查函数解析式的求解以及分段函数最值的计算，考查二次函数求最值、利用函数单调性求最值的方法．考查学生的运算能力和推理能力，属于中档题．
21．解：（1）函数．
因为的最大值为1，所以当时，，则，故实数a的值为．
所以．
令，．解得，．
即函数的单调递减区间为，．
（2）将图象上所有的点向上平移1个单位长度得到的图象，
再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，然后向右平移个单位长度得到的图象．
因为，所以，则，
所以，即函数的值域为．
[命题意图]本题考查三角恒等变换，考查三角函数的图象平移、伸缩变换以及三角函数值域的求法，考查学生综合运用知识和运算求解的能力，属于中档题．
22．解：（1）设，，，
则．
由函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
，，即，
的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
（2）当时，今，则，
则函数，
，当时，的值域为，
因为对任意，总存在，使得成立，
所以，，即实数a的取值范围为．
[命题意图]本题考查“对勾函数”的性质及其应用，考查恒成立问题和存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查集合之间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于较难题．
