丽水市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监控
数学试题卷（2024.01）
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上．
2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知等比数列的前n项和为，公比，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．己知向量，则的值是（ ）
A． B． C．8 D．12
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为
8．已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．若该数列的前N项和为2的整数幂，则N的值可以是（ ）
A．83 B．87 C．91 D．95
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线过定点 B．线段长的最大值为6
C．线段长的最小值为4 D．面积的最大值为
10．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面夹角的余弦值是
11．设直线与抛物线相交于两点，且与圆相切于点，M为线段的中点（ ）
A．当时，直线的斜率为1 B．当时，线段的长为8
C．当时，符合条件的直线有两条 D．当时，符合条件的直线有四条
12．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中是正数，表示初始时刻种群数量，r表示种群的内秉增长率，K表示环境容纳量，近似刻画t时刻的种群数量．下面判断正确的是（ ）
A．如果，那么存在 B．如果，那么对任意
C．如果，那么存在在t点处的导数
D．如果，那么的导函数在上存在最大值
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．已知直线和，若，则_______．
14．己知等差数列的前n项和为，若，则_______．
15．已知圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为6，圆台的体积为，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则_______．
16．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是_______．
17．己知曲线和，点分别在曲线上，记点Q的横坐标为，则的最小值是_______．
18．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆外切或与坐标轴相切），若斜率为3的直线将8个圆分成面积相等的两部分，则直线的方程是_______．
四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知圆M经过点．
（1）求圆M的方程；
（2）过点作直线与圆M相切，求直线的方程．
20．己知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围．
21．己知为正项数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
22．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）设点N在直线上，若的面积是，求的值．
23．已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点．
（1）若的重心在直线上，求k的值；
（2）若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积．
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数学答案（2024.01）
一、单项选择题
DBCB CADD
二、多项选择题
9．ABC 10．AD 11．BD 12．ABD
三、填空题
13．2 14．28 15．17 16．10 17． 18．
四、解答题
19．解：（1）线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，
由，解得．
圆的半径，
圆的方程为．……6分
（2）设过点P的直线为，即，
圆心到直线的距离，解得或，
直线方程为或．……12分
20．解：（1），
所以的切线方程为．……4分
（2）易知是函数的一个零点，由题意可知，方程有两个不同的实数根，令，则．设，得，当，当，所，即．……12分
21．解：（1）由题意知：且，
两式相减，可得，
，可得，
又，当时，，即，
解得或（舍去），所以，
从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为．……5分
（2）解：由，
可得，
所以．……12分
22．解：（1）中，,
，
四边形是平行四边形，，
选中点H，则两两垂直，
以为轴建立直角坐标系,
则为边上的高，
，
M为中点，
，
设平面的法向量为，
，取，
设平面的法向量为,
，取，
平面与平面夹角余弦值为；……6分
（2），设N点到的距离为d，则
设，则；
，设N点到的距离为d，则
，即
．……12分
另解：，设N点到的距离为d，则
延长至E，使得，则且，又平面
，所以E点即为N点，．
23．解：（1）设
即
又的重心为
即
．……5分
（2）即
代入化简得或（过M点舍）
直线为：，代入双曲线得
设M点到的距离为d，则
……12分
