10.3频率与概率同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
2．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业
B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1
C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时
D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间
3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
4．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47
5．某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（ ）
A．该商户这8个月中，收入最高的是7月
B．该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月
D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是
6．手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0
其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
8．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ）
A．10% B．20% C．35% D．70%
二、多选题
9．一座对外封闭的小岛上共有三座城市，三座城市第年居住人口分别为（单位万人，因为统计方法的影响，可能不为整数或有理数），假设出生率与死亡率相当（即总人口不变），每年人口都会在三座城市间流动，如城每年有留在城，有去往城，有去往城，总体流动情况如下表所示：
城市 每年去往 每年去往 每年去往
则以下说法中，正确的有（ ）
A．若，则
B．若三座城市人口均保持每年稳定不变，则
C．无论初始人口如何分布，经过足够久的年份后，三座城市的人口数会趋向相同
D．每两年的人口流动情况为下表所示：
城市 每两年去往 每两年去往 每两年去往
10．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ）
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
11．某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（ ）
A．参加社团的同学的总人数为480
B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人
D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35
12．光明学校组建了演讲 舞蹈 航模 合唱 机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
三、填空题
13．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
14．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
15．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
16．某高中学校共有学生名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是.现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则 ，应在高三年级抽取的学生的人数为 .
年级 一年级 二年级 三年级
学生人数 1 200 x y
四、解答题
17．在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数；
(2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）.
18．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.
(1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率；
(2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）
A B C
a 40 10 10
b 3 24 3
c 2 2 6
①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率；
②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？
19．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
20．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
(1)求直方图中的值和n；
(2)试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
21．我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 [50，60） 8 0.16
第2组 [60，70） a ▓
第3组 [70，80） 20 0.40
第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组 [90，100] 2 b
合计 ▓ ▓
(1)求出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
(3)根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率.
【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．
故选：D．
2．C
【分析】根据频率分布直方图结合统计、概率相关知识逐项分析判断.
【详解】对于A，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故A正确；
对于B，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故B正确；
对于C，该校高三年级学生的平均做作业的时间为
，
故C不正确；
对于D，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的频率为，
估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间，故D正确．
故选：C．
3．B
【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
4．B
【分析】运用频率定义计算即可.
【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为.
故选：B.
5．B
【分析】依次计算收入得到A正确，计算线下线上收入知B错误，根据图像知C正确，月收入不少于17万元的有4个月，D正确，得到答案.
【详解】对于选项A：该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、16万元、20万元、17.5万元，A正确；
对于选项B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误；
对于选项C：根据折线图可知，该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月，C正确；
对于选项D：该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，频率为，D正确．
故选：B
6．C
【分析】根据题意求相应的频率，用频率估计概率.
【详解】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为，
用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：C.
7．C
【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果.
【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为，
又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个.
故选：C
8．D
【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果.
【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题，
由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”，
根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”，
又第二个问题被问到的人数同样约为40人，
故本小区对物业满意服务的百分比大约为.
故选：D
9．BCD
【分析】由题意知，与满足的关系式，逐项计算即可得出答案.
【详解】由题意知与满足关系式：，其中，
对于A，当，
则，则，故A错误；
对于B，在上述关系式中令，反解线性方程组，
即可知恒成立，从而，故B正确；
对于C，由流动比例的轮换对称性及总人口不变，知三座城市人口趋于相同，故C正确；
对于D，将代入，
则，故D正确.
故选:BCD.
10．AB
【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD.
【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；
因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；
因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；
记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为
ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，
其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，
所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；
故选：AB.
11．ABD
【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数；
对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断；
对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断；
对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断.
【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确；
对于B，参加脱口秀社团的有120名，
故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；
对于C，参加朗诵社团的人数为，
参加舞蹈社团的占比为，
参加舞蹈社团的人数为，
故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误；
对于D，从参加社团的同学中任选一名，
其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确．
故选:ABD．
12．ABD
【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.
【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10
所以选取的总人数为人，故选项A正确.
合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确.
则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确.
选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，
所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.
故选：ABD.
13．/0.4
【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.
【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，
故这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故答案为：
14．
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
15．
【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有.
故答案为：.
16． 25
【分析】由题意得高二、高三年级学生数量，再利用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．
【详解】由题意得高二年级学生数量为：人，
高三年级学生数量为，
现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，
则应在高三年级抽取的学生的人数为人.
故答案为：；.
17．(1)；
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数；
（2）直接利用平均数公式求出平均数.
【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为，
身高位于区间的频率为，
用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为，
又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20.
可知该校100名生学身高的分位数落在.
设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得.
故该校100名生学身高的分位数为.
（2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得：
18．(1)
(2)①；②252
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率.
（2）①利用频率估计概率求解可得.
②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可.
【详解】（1）列表如下：
a b c
A
B
C
所有等可能的情况数有9种，
其中垃圾投放正确的有，，共3种，
所以垃圾投放正确的概率为.
（2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为，
②.由（吨），
答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料.
19．(1)
(2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元
【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求；
（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.
【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．
（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．
乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及频率、频数和样本容量的关系计算即可；
（2）根据样本频率估计即可.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：
，解得.
∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（2）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率为：
.
21．(1)a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004
(2)
(3)中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96
【分析】（1）利用频率＝，及表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．
【详解】（1）由题意可知，样本容量n＝，
∴b＝＝0.04，
第四组的频数＝50×0.08＝4，
∴.
y＝＝0.004，x＝×＝0.032．
∴a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．
（2）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，
有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝．
∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
（3）∵[50，70）的频率为：，
[70，80）的频率为0.4，
∴中位数为：，
平均数为：．
方差为：
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
