安徽六校教育研究会 2024届高三年级第二次素养测试数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B D A A D A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 10 11
ABD ACD AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
32 3 2 a r
12． 13． 14．
3 2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
π a b
解：（1）由sin B 得a b 2csin B 3csin B ccos B．…………2 分
6 2c 6
由正弦定理得sin A sin B 3sin BsinC sinC cos B， ……………………3 分
得 sin B C sin B 3sin BsinC sinC cos B ，
得 cosC sin B sin B 3sinC sin B．
因为sin B 0，所以 3sinC cosC 1， ……………………5 分
1
即 sin C ， ……………………6 分
6 2
π
又0 C π，所以C ． ……………………7 分
3
（2）由余弦定理，（ 6）2 a2 b2 2abcosC （a b）2 3ab，…………………9分
可得ab 2， ……………………10分
1 3 1 1 1 1
又 S ABC S CBD S CAD， ab a CD b CD ……………………12 分
2 2 2 2 2 2
3ab
则CD 1 ……………………13 分
a b
数学试题参考答案 第 1 页，共 6 页
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16．（15 分）
解：（1）取棱 AE 上一点 H ，使得 AH 2HF ，连接GH ， HD ， ……………………1 分
∵ AH 2HF ， BG 2GE
E
1
∴GH∥ AB ，且GH AB ，………2 分
3 H G
∵CF 2FD F
D C
1
∴ FD∥ AB ，且 FD AB，…………3 分 A B
3
∴GH∥ FD，且GH = FD ,∴ FG∥DH ……………………………………5 分
又∵ FG 平面 ADE ， DH 平面 ADE
∴ FG∥平面 ADE ……………………6 分
（2）取 AD 中点O，连接OE ，OB ，作 EK OB，垂足为K ，
∵菱形 ABCD中， AD BD 2，
∴△ABD为等边三角形，
∵OE AD,OB AD，OE OB O
∴∠BOE是二面角 E AD B的平面角，即∠EOK=180°-∠BOE=60°，且 AD 平面OBE
3
∴OK OE cos60 ，即OB 2OK z
2
E
又∵ BG 2GE ,∴OG∥ EK
又∵ EK 平面 OBE G
∴ EK AD F
K O D C
又∵ EK OB, AD OB O
A B
x y
∴ EK 平面 ABD
∴OG 平面 ABD …………………………………………9 分
分别以为OA,OB,OG 为 x， y ， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz………………10 分
则点 A(1,0,0),B(0, 3,0),D( 1,0,0),G(0,0,1) ， …………………………………………11 分
所以 BG (0, 3,1),BC AD ( 2,0,0) ，
1 1 4 3
FG FD DO OG CD DO OG BA DO OG ( , ,1) ……………………12 分
3 3 3 3
设 n 平面BCG， n (x, y, z) ，记 FG 与平面 BCE 所成角大小为 θ，
n BC 2x 0
由 ，取 n (0,1, 3) …………………………………………13 分
n BG 3y z 0
4 3
( , ,1) (0,1, 3)
FG n 3 3 21
sin ，
FG n 2 7 14
2
3
21
综上， FG 与平面 BCE 所成角的正弦值为 ． ……………………15 分
14
数学试题参考答案 第 2 页，共 6 页
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17．（15 分）
证明：（1）令 f (x) ex 1 x ， x 0, f (x) ex 1 0
则 f (x) 在 (0, )单调递增，所以 f (x) f (0) 0即 ex 1 x ； ……………………3 分
x 1 1 x
令 g(x) ln(1 x) ， x 0, g (x) 0
1 x 1 x (1 x)2 (1 x)2
x
则 g(x)在 (0, )单调递增，所以 g(x) g(0) 0即 ln(1 x) ……………………5 分
1 x
（1 x）ln(1 x) x, ln(1 x)(1 x)所以 x，所以 ex (1 x)1 x
综上，1 x ex (1 x)1 x ； …………………………………………7 分
（2）结合第（1）问， ex≥1 x对任意的 x R恒成立，………………………………………8分
k
k k
令 x (k 1,2, ,n) ，则 e n≥1 ≥0 ， …………………………………10分
n n
k 1 2 n
(1 )n≤e k 即 (1 )n≤e 1 ， (1 )n≤e 2 ，…， (1 )n≤e n ……………………12 分
n n n n
1 n 2 n n
1 n
(1 ) (1 ) (1 )n≤e 1 e 2
e (1 e ) 1
e n . ……………………14 分
n n n 1 e 1 e 1
n nn
所以 (n k)
n （n *N）. ………………………………………………………………15 分
k 1 e 1
18. （17 分）
2 88 (33 7 10 38)
2
解:（1）依据表中数据， 0.837 2.706 x ， ……………………2 分 0.1
43 45 71 17
依据 0.100的独立性检验，没有充分证据推断 H0 不成立，因此可以认为 H0 成立，即认为在
不同区域就餐与学生性别没．有．关联． ………………………………4 分
（2）设 Ai “第 i天去甲餐厅用餐”， Bi “第 i天去乙餐厅用餐”，Ci “第 i天去丙餐厅用餐”，
则 Ai 、 Bi 、Ci 两两互斥， i 1,2, ,n. …………………………………………5 分
根据题意得
1 1 1 1 1
P A1 P B1 ,P C1 ， P Ai 1 | Ai ， P Ai 1 | Bi ， P Ai 1 | Ci ，
4 2 2 3 2
1 1 2
P Bi 1 | Ai ， P Bi 1 | Ci ， P Ci 1 | Bi . ……………………………………7 分
2 2 3
数学试题参考答案 第 3 页，共 6 页
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(i)由 B2 B2 A1 B2C1 ，结合全概率公式，得
1 1 1 1 3
P(B2 ) P(B2 A1 B2C1) P(A1)P(B2 | A1) P(C1)P(B2 | C1) ，
4 2 2 2 8
3
因此，张同学第 2 天去乙餐厅用餐的概率为 . …………………………………………9 分
8
(ii)记第 n(n N )天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 pn ， qn ， rn ，
1 1
则 p1 q1 ,r1 ，由全概率公式，得
4 2
pn P(An )
P(An An 1 AnBn 1 AnCn 1)
……………………11 分
P(An An 1) P(AnBn 1) P(AnCn 1)
P(An 1)P An | An 1 P(Bn 1)P An | Bn 1 P(Cn 1)P An | Cn 1
1 1 1
故 pn pn 1 qn 1 rn 1(n≥2) ①
2 3 2
1 1
同理 qn pn 1 rn 1(n≥2) ②
2 2
2
rn qn 1(n≥2) ③
3
pn qn rn 1 ④
1
由①②， pn qn qn 1，
3
由④， pn 1 1 qn 1 rn 1，
1 1 1 1 1
代入②，得： qn qn 1，即 qn (qn 1 ) ，
2 2 3 2 3
1 1 1
故 qn 是首项为 ，公比为 的等比数列， ……………………14 分
3 12 2
1 1 1
即 q ( )n 1n ,
3 12 2
1 1
所以 qn 1 ( )
n 1
…………………………………………………………15 分 3 2
于是，当 n≥2 时
1
pn qn qn 1
3
1 1 1 1
1 ( )
n 1 1 ( )n
3 2
9
2
4 1 1
( )n 1
9 9 2
………………………………………………………………16 分
数学试题参考答案 第 4 页，共 6 页
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1
,(n 1) 4
综上所述， pn . …………………………………………17 分
4 1 1 ( )n 1,(n≥2)
9 9 2
19.（17 分）
解:（1）由题意可得|OM|＝1，且 M为 NF1的中点，
又 O为 F1F2的中点，
所以 OM∥NF2，且|NF2|＝2|OM|=2.
因为点 F1关于点M的对称点为 N，线段 F1N的中垂线与直线 F2N相交于点 T，
由垂直平分线的性质可得|TN|＝|TF1|，
所以||TF2|－|TF1||＝||TF2|－|TN||＝|NF2|＝2＜|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点 T的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线.
1
a 1,c F1F2 2,b c
2 a2 3
2
y2
故曲线C 的方程为 x2 1 …………………………………………7 分
3
（2）由题意可知：直线 DE 的斜率存在，设DE : y k x 1 1,D x1, y1 ,E x2 , y2 ，
y k x 1 1
联立方程 ，消去 y得： 3 k2
2
y2 x
2 2k 1 k x 1 k 3 0，……………8 分
2
x 1
3
3 k2 0
则 2 2 ，
Δ 4k
2 1 k 4 3 k2 1 k 3 24 2 k 0
解得 k 2，且 k 3 …………………………………………10 分
2
2k 1 k 1 k 3
x ， ① …………………………………………11 分 1 x2 , x x
3 k 2
1 2
3 k 2
y
由 A 1,0 ，得直线 AD : y 1 x 1 ，
x1 1
y
y y
令 x 2，解得 y 1 ，即 P 0, 1 Q ，
x1 1 x1 1
B
y
同理可得Q 2 0, ，……………………12 分
x2 1 E
H
P
y y k x1 1 1 k x 1 1则 1 2 2 O A x
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
kx1 1 k x2 1 kx2 1 k x1 1 D
x1 1 x2 1
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2kx1x2 1 2k x1 x2 2 1 k
x1x2 x1 x2 1
2
1 k 3 2k 1 k
2k 1 2k 2 1 k2 2
3 k 3 k
2
1 k 3 2k 1 k
1
3 k 2 3 k 2
2k(1 k)2 6k 2k(1 k)(1 2k) 2(1 k)(3 k 2 )
(1 k)2 3 2k 1 k (3 k 2 )
6
1
6
……………………………………………………………………………………16 分
所以 PQ的中点为定点 (2,3). ………………………………………………………………17 分
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数学试题
2024.2
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔扎茶题卡上对应题日的答案
标号涂黑：非选择题请用直径0,5毫米黑色圣水签字笔在答题卡上各题的答题区拔内作答，超出答题区域
书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
I.已知全集U=R,集合M=x<0,N=yeRl=Vk+Tl,则MnN等于
A.[-1.1)
B.[0,1)
C.（-3.0)
D.(-3,-1)
2.若(1-i):=2i,则1：-2il=
A.0
B.1
C.2
D.2
3.(1-ax)°的展开式中x的系数为160，则a=
A.2
B.-2
C.4
D.-4
4,在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模咩体感染的标志为
“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定
符合该标志的是
A.甲地：总体均值为3，中位数为4
B.乙地：总体均值为1，总休方差大于0
C.丙地：中位数为2，众数为3
D:丁地：总体均值为2，总体方差为3
5.树圆后+广4=1经过点(2.3)，则其离心率e
A分
B③
C.③
9
6.若函数八x)=sin(wr-牙)在区间(0，m)恰有三个零点，两个极值点，则u的取值范雨是
A(子1
B哈3)
c哈)
D.子)
数学试题第1页（共4页）
CS扫描全能王
3亿人都在用的扫描AP8
7.已知校长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个校长为2的小正四面体
（如图)，剩余中间部分的八而体可以装人一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计）、
则该球形容器表面积的最小值为
A.12-
B.24r
C.36m
D.48r
8.已知函数f(x)=ac-xnx+xlna(a>0),若方程(x)=0有两个不同的实数解，则实数a的取值
范围是
A(0.)
B.(0,]
c.(1
D.(占1)
二、选择题：本题共3小题每小题6分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分。
9.已知等差数列|a.I的的n项和为S.,a1>0,且(S1-S,)(S,-S)<0,则
A.a+a>0
B.S1
D.当S、<0时，n的最小值为19
10.已知直线l:(a+2)x-(a+1)y-1=0与圆C:x2+y=4交于点A,B、点P(1,1),AB中点为Q,则
A.IAB1的最小值为2万
B.IAB1的最大值为4
C.P·P为定值
D.存在定点M,使得IMQI为定值
11.已知函数八x),g(x)的定义域均为R,八1-x)+g(1+x)=2,g(x)-八x-2)=2,(4-x)-八x)=2,
且当xe(0,1]时，八x)=x2+1,则
A.g(2024)=2
Bs0=0
C.函数八x)关于直线x=3对称
D.方程八x+2024)=x有且只有2个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
I2.抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直线I与曲线C交于A,B两点，点A的横坐标为6，则B1=
13.已知正方形ABCD的边长为2.中心为O.四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的
中点（如图），若P在BC上，且P=入+4元，则A+4的最大催为
14.设S,是以定点P。为球心半径为，的球面，。是一个固定平而，P。到的距离为
a,>r.设S,是以点M为球心的球而，它与S。外切并与。相切.令A为满足上述
条件的球心M构成的集合.设平面行与。平行且在r上有A中的点，设d:是
平而行与。之间的距离，则d的最小值为_一
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