龙岩市2023~2024学年第一学期期末高二教学质量检查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．
1．计算（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l的法向量为，且经过点,则原点O到l的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列,则（ ）
A． B． C． D．
5．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理5门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
6．已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且,则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A,B两点，若,则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9．已知二项式的展开式，则（ ）
A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项
C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256
10．已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M,N,线段的中点为P，则（ ）
A． B．当时，直线l平分圆C
C．当时， D．点P的轨迹方程为
11．已知直线l与抛物线交于A,B两点，且与x轴交于点P,O为坐标原点，直线斜率之积为m,则（ ）
A．当时，
B．当时，线段中点Q的轨迹方程为
C．当时，以为直径的圆与y轴相切
D．当时，的最小值为10
12．已知数列各项均为负数，其前n项和满足,则（ ）
A．数列的第2项小于 B．数列不可能是等比数列
C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）．
13．编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有&&种．（用数字回答）
14．已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为&&．
15．已知椭圆的离心率为是左、右焦点，B为椭圆的下顶点，连结并延长交椭圆于点A,则直线的斜率为&&．
16．已知数列各项均为1，在其第k项和第项之间插入k个,得到新数列,记新数列的前n项和为,则&&，&&．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
在的展开式中，&&．
（1）求n;
（2）证明：能被6整除．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．（本题满分12分）
在数列中，,且分别是等差数列的第1,3项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求的前n项和．
19．（本题满分12分）
已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点．
（1）求圆M的标准方程；
（2）直线与圆M相交于A,B两点，，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，求．
20．（本题满分12分）
抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知点F为抛物线的焦点，O为坐标原点，M点在抛物线上，且其纵坐标为，满足．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知平行于x轴的光线l从点射入，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上另一点B,最后沿方向射出，若射线平分,求实数m的值．
21．（本题满分12分）
已知函数满足，数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，其前n项和为,若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知定点,直线相交于点M,且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点满足，直线与双曲线分别相切于点A, B．证明：直线与曲线C相切于点Q,且．
