6.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一．选择题
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．9种
C．3种 D．26种
【答案】B 【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种)，从其中任选一本阅读，共有9种选法．
2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
【答案】D 【解析】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x，有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y，有3种方法．根据分步乘法计数原理，不同的点有3×3＝9(个)．
3．(2023年运城月考)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书和从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书的取法分别有( )
A．9种，20种 B．20种，9种
C．9种，24种 D．24种，9种
【答案】C 【解析】从书架上任取1本书，不同取法有4＋3＋2＝9(种)；从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同取法有4×3×2＝24(种)．故选C．
4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
【答案】D 【解析】每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种)．
5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
【答案】B 【解析】首先考虑6个表面，每个表面有其相对的长方形的4条边与之平行，还有该四边形有2条对角线与之平行，因此每个表面可以构造6个平行线面组，6个表面，平行线面组就有6×6＝36(个)．再考虑对角面，即体对角线是其对角线的矩形，这样的矩形有6个，每个矩形对应有2条边与之平行，因此平行线面组一共有6×2＝12(个)．相加得48.
6．(2023年葫芦岛期末)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )
A．8 B．10
C．15 D．16
【答案】A 【解析】拨动梁下下位两珠，或十位两珠，能组成的整数为2,20，共2个；从个位的梁上、梁下，十位的梁上、梁下四个位置中选两个，拨动选中的这两个位置各一珠，能组成的整数为6,51,60,15,11,55，共6个．所以不同整数的个数为2＋6＝8.故选A．
7．(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是( )
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
【答案】AB 【解析】对于A，从中任选1个球，不同的选法共有5＋6＋4＝15(种)，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，不同的选法共有5×6×4＝120(种)，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分黄黑、黄蓝、黑蓝三类，再进行各类分步选择，不同的选法共有5×6＋5×4＋6×4＝74(种)，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，不同的选法共有15×14＝210(种)，故D错误．故选AB．
8．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
【答案】B 【解析】由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18(种)．
9．(多选)(2022年龙岩期末改编)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示：
乘坐站数x 0
现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种
B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种
C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种
D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为
【答案】BCD 【解析】若小花、小李两人共花费5元，则两人中1人花费2元，1人花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18(种)，故A错误，B正确；若小花、小李两人共花费6元，则两人中1人花费2元、1人花费4元或2人都花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27(种)，C正确，其中小花比小李先下地铁有3×3＋3＝12(种)，概率为＝，故D正确．故选BCD．
二．填空题
10．已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，能组成logab＞1的对数值有________个．
【答案】9 【解析】分四类：当a＝2时，b取3,5,7,9四种情况；当a＝4时，b取5,7,9三种情况；当a＝6时，b取7,9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况．所以总共有4＋3＋2＋1＝10(种)，又log23＝log49，所以对数值有9个．
11．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
【答案】13 【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种)．
12．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
【答案】2n(n－1) 【解析】先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有(n－1)条，这(n－1)条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成(n－1)个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．
13．清代诗人黄伯权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶围成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学中也有这种特性的数字，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期)，数学上把20200202这样的对称数称为回文数，如两位数的回文数共有9个(11,22，…，99)，则四位数的回文数有______个，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为________．
【答案】90 【解析】四位数的回文数只用排列前两位数字，后面的数字就可以确定，但是第一位数不能为0，有9种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数的个数为9×10＝90.四位数的回文数的第一位数是奇数，有5种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数中奇数的个数为5×10＝50，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为.
三．解答题
14．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
15．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．
(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4(种)． 6.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一．选择题
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．9种
C．3种 D．26种
2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
3．(2023年运城月考)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书和从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书的取法分别有( )
A．9种，20种 B．20种，9种
C．9种，24种 D．24种，9种
4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
6．(2023年葫芦岛期末)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为( )
A．8 B．10
C．15 D．16
7．(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是( )
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
8．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
9．(多选)(2022年龙岩期末改编)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示：
乘坐站数x 0
现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种
B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种
C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种
D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为
二．填空题
10．已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，能组成logab＞1的对数值有________个．
11．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
12．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
13．清代诗人黄伯权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶围成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学中也有这种特性的数字，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期)，数学上把20200202这样的对称数称为回文数，如两位数的回文数共有9个(11,22，…，99)，则四位数的回文数有______个，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为________．
三．解答题
14．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
15．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？
