重庆市青木关中学校 2025 级高一（上）期末考试题答案
1-4 DCDB 5-8 BACA
9.AD 10.ACD 11.BCD 12.AC
4
13. 14. 3,2 15. 6 16. xy 3 等
5
17. （满分 10 分）化简或计算下列各式：
3
（1） 2 0 log 100 3 2 ln 10 log 5 lg 4 5 25 ；
10
3
tan 3 cos sin
2（2）
2 .
7
sin 5 cos
2
3
解（1） 2 0 2 log 100 3 ln 10 log 5 lg 4 5 25
10
= 27 1 lg 25 lg 4 10
=26+2-10=18
3
tan 3 cos sin
（2）
2 2
7
sin 5 cos
2
tan ( sin )( cos )
= 1
sin ( sin )
18. （满分 10 分）若函数 f (x) ax2 bx 4，
1
(1)若不等式 f (x) 0的解集为 , 4 ，求a,b的值；
2
(2)当a 1时，求 f (x) 0 b R 的解集.
1 9 b
4 2 2 a
解（1）结合韦达定理知a 0且 ，所以a 2,b 9
1 4 4 2
2 a
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
（2） a 1， f (x) x2 bx 4
当 Δ<0，即－4
x x
当 Δ＝0，即 b＝±4时，解集为 2 ；
b b
2 16 b b2 16
x x 或x
2 2
当 Δ>0，即 b<－4 或 b>4 时，解集为 .
5
f (x) 2sin x sin x 2 3 cos
2 x 3
19. （满分 12 分）已知函数 2 ，求：
(1)函数 f (x)的最小正周期及对称中心；
(2)先将函数 f (x)的图象向右平移 3 个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为
7
,
原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y h(x)的图象，求h(x)在 12 6 上的值域.
f (x) 2cos x sin x 3 cos 2x sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x
解（1） 3
k
2x k ,k Z x ,k Z
T 令 3 6 2
k
所以对称中心为 ,0 ,k Z
6 2
（2）经平移变换后， h(x) 2sin x ，
3
7 5 因为
2
x , ， x , ，则sin x ,1 ， 12 6 3 4 6 3 2
h(x) 2,2
20. （满分 12 分）如图所示， ABCD是一块边长为 8米的荒地，小花想在其中开垦出
一块地来种植玫瑰花。已知一半径为 6 米的扇形区域 TAN已被小明提前撒下了蔬菜种
子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花。最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一
块矩形 PQCR区域进行种植，其中 R 在 DC 边上，Q 在 BC边上，P 是弧 TN 上一点. 设
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
TAP ,矩形 PQCR 的面积为 S 平方米．
(1)求 S 关于 θ的函数解析式；
(2)求 S 的取值范围．
解（1）如图，延长 RP 交 AB于点 E，延长 QP 交 AD 于点 F.由四边形 ABCD 是正方形，
四边形 PQCR是矩形，
可知PE AB，PF AD.由 TAP＝ ，AP＝6，可得
EP＝6sin , FP＝6cos ， PR＝8－6sin ，PQ＝8－6cos ，
S＝PR·PQ＝(8－6sin )(8－6cos )＝64－48(sin ＋cos )＋36sin cos .
S＝64－48(sin ＋cos )＋36sin cos ，0 ．
2
3
(2)令sin ＋cos ＝t，由0 ，可得 , ，
2 4 4 4
故 t sin cos 2 sin 1, 2
4
t 22 2 1t sin cos 1 2sin cos ，即sin cos = ，
2
4
∴S 18t
2 48t 46,t 1, 2
，其对称轴为 t ， t
1, 2
3
所以当 t=1时，S 取最大值，最大值为 16；
4
所以当 t= 时，S 取最小值，最小值为 14.
3
即S 14,16
1 x
（满分 12 分）已知函数 f (x) log2 为奇函数. 21. ax 1
(1)求实数 a的值；
(2)若 x 1, ，判断并用定义证明函数 f (x)的单调性；
x
(3)设 1 F (x) f (x) k ，且 F (x)在区间 3,4 上不存在零点，求实数 k 的取值范围.
2
1 x
f (x) 有意义时， 0，
解（1）（法一）因为 ax 1
又因为 f (x) 为奇函数，所以定义域关于原点对称，
即a 1.
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
1 x 1 x
（法二）由 f (x) f ( x)知， log2 log 2
ax 1 ax 1
1 x ax 1 1 x ax 1
即 log log ，则 ， a 1 2 2
ax 1 1 x ax 1 1 x
经检验，a 1时， f (x)无意义，故a 1.
（2） f (x) 在 1, 上是单调递增的，证明如下：
x x x x 1
设1 x1 x2，则 f (x1) f (x
1 2 1 2
2 ) log2 ，
x1x2 x1 x2 1
由1 x 知，1 x2 x1 x2 0，则 x1x 2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 1
且 x1x2 x1 x 1 x 1 x 1 0， 2 2 1
x x x x 1
又 x1x2 x1 x2 1 x2 1 x1 1 0，有
1 2 1 2 1
x1x2 x1 x2 1
x1x2 x1 x2 1从而 f (x1) f (x2 ) log2 0，即 f (x1) f (x2)，
x1x2 x1 x2 1
则 f (x) 在 1, 上是单调递增函数.
x
x 1 1
（3）令F (x)在 3,4 上有零点，则 log2 k 在 3,4 上有解，
x 1 2
x
x 1 1
令 (x) log ， (x) k， 2
x 1 2
x
x 1
由
1
(x) log 在 3,4 上单调递增， (x) 2 k在 3,4 上单调递减知：
x 1 2
1
1 k
(3) (3) 1 5 9
，即
8 ， k log2 ,
(4) (4) 3 1 16 3 8 log2 k 5 16
那么F (x)在区间 3,4 1 5 9上不存在零点时， k , log2 , .
16 3 8
4x 1
22. 满分 12 分）已知函数 f (x) log , g(x) 4x t 2x , h(x) log a 2x 1
2a
4 x 4 .
2 3
(1)若对于 x R, x 1,1 ，使得 f (x ) g(x ) 01 2 1 2 成立，求实数 t的取值范围；
(2)若 f (x)与 h(x)的图象有且仅有一个交点，求实数 a的取值范围.
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
解（1）由题知， f x g x ， 1 min 2
4x 1 1 1 1
因为 f (x) log4 log4 2
x x ，令2 m 0, ，则2
x m 2, ，
2x
2
x
2
x m
1 1
f (x)min log ，4 2 4
x t 2x 在 1,1 上有解，
2 2
1
n2
设 x
1 1 1
n 2 ,1
2
，则 t n 在 1,1 上有解，即 t n ，
2 n 2n 2n max
1 1
1 1 2 2
n n 2 ， y n 2 在 , 上单调递减，在 , 2 上单调递增，
2n n n 2 2 2
1 3 9
n 时， y ；n 2时， y .
2 2 4
9 9
t ，即 t的取值范围为 , . 4 4
4x 1 2a
（2）据分析， a 2x 1 只有一个解，
2x 3
a 2a
4x 1 4x 2x 只有一个解.
2 3
x a 2a设 t 2 0， (t) 1 t
2 t 1，则 (t) 0在 0, 上有且仅有一个根,
2 3
4t 3
当 a 2时， (t) 1， (t) 0时， t 与 t 0矛盾，故不符；
3 4
2
2a 2a a 2
当 a 2时， (t)的对称轴为 ， t 4 1 1 2a 3 a 6 ，
3 a 2 3 2 9
2a
0由 (0) 1知， 3 a 2 ，求得a 6；
0
2
当 a 2时， (t)的图象开口朝上，且 2a 3 a 6 0， (0) 1 0 ，
9
则 (t) 0在 0, 上有且仅有一个根恒成立.
综上，a 6 2, .
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}青木关中学高 2025 级高一（上）期末考试数学试题
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1.已知集合 A x y log x 1 ，集合B y Z 0 y 3 ，则 CR A B （ ） 5
A. 0,1 B. 0,1 C. D. 0,1
2.方程 x2 ln x 5 0 的解所在区间可以为（ ）
A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4
1 1 1
3.若 ，则 t （ ）
log3 t log4 t 2
A． 2 3 B .12 C.48 D.144
5
4.已知 sin x ，则cos x （ ）
6 5 3
5 5 2 5 2 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.函数 y log1 x
2 2x 8 的单调递增区间为（ ）
2
A． 4, B. , 2 C. 1, D. ,1
1 2sin2 5
6. 2cos10 （ ）
2sin10
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
2
7.函数 f (x) ax2 ax 2的定义域为 R，则 a的取值范围为（ ）
A. 8, B. 0,8 C. 0,8 D. 0 8,
1 1
8.已知命题“对 x , ，都有 m 1 x
2 m 1 x m 1 0恒成立”为真，则m 的取值范围为（ ）
2 2
1 1 1
A. , B. ,1 1, C. , D. ,1
3 3 3
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中不止一项
符合题目要求. 全选对得 5 分，没选全得 3 分，选错得 0 分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.“ab 1”是“a 1,b 1 ”的必要不充分条件
B.“幂函数 f (x) 3m2 11 xm 在 0, 上单调递减”的充要条件为“m 2 ”
C.命题 p : x R, x3 3x 1 0的否定 p为: x R, x3 3x 1 0
5π
D. 己知一扇形的圆心角 60 ，且其所在圆的半径 r 5，则扇形的弧长为
3
10.下列说法正确的是（ ）
2 1
A．若 x 2y 2(x 0, y 0)，则 的最小值为 4
x y
1
B．若 x 1，则 x 的最小值为 1
x 1
C．若0 x 2，则3x 4 2x 的最大值为 6
D.若 a 0,b 0，且a 4b ab 3 0，则ab 0,1 9,
11.已知函数 f (x) Asin wx A 0,w 0,0 的部分图象如下，则以下说法正确的是（ ）
2
A. f (x) 2sin 2x
4
9 9
B. f (x) 的一个对称中心为 ,0 ，一条对称轴为 x
8 8
C. f (x) 向左平移 个单位后为偶函数
8
D. f (x) 向右平移 个单位后为奇函数
8
x2 ax 7, x 1
12.下列关于函数 f (x) a 的说法正确的是（ ）
, x 1
x
A.当a 2,4 时， f (x) 是单调函数 B.当a 4, 时， f (x) 是单调函数
C.当a 4,8 时， f (x) 的值域为 0, D.当a 4, 时， f (x) 的值域为 0,
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
13.已知 2cos sin ，则sin 2 _____________.
2 2
14.函数 f (x) ax 3 1 a 0且a 1 的定点为_____________.
3 x
15.若 f (x 3) ，当 x 0,6 时， f (x) 2 log 1 x 1 ，则 f (99) ___________.
f (x) 2
16. 若 f (x) 满足以下条件：(1) f (x y) f (x) f (y)；(2) f (x) 的图象关于 x 0对称；(3)对于不相等的
两个正实数 a,b，有 f (a) f (b) a b 0成立，则 f (x) 的解析式可能为 f (x) ____________.
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.）
17.（满分 10 分）化简或计算下列各式：
3
（1） 2 2 0 3 ln log 100 10 log 5 lg 4 5 25 ；
10
3
tan 3 cos sin
2 2（2） .
7
sin 5 cos
2
18. （满分 10 分）若函数 f (x) ax2 bx 4，
1
(1)若不等式 f (x) 0的解集为 , 4 ，求 a,b的值；
2
(2)当a 1时，求 f (x) 0 b R 的解集.
5
19. （满分 12 分）已知函数 f (x) 2sin x sin x 2 3 cos
2 x 3 ，求：
2
(1)函数 f (x) 的最小正周期及对称中心；
(2)先将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，
3
7
纵坐标不变，得到函数 y h(x)的图象，求 h(x) 在 , 上的值域.
12 6
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
20. （满分 12 分）如图所示， ABCD是一块边长为 8 米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植
玫瑰花。已知一半径为 6 米的扇形区域 TAN 已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随
意种植玫瑰花。最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形 PQCR 区域进
行种植，其中 R 在 DC 边上，Q 在 BC 边上，P 是弧 TN 上一点. 设 TAP ,矩
形 PQCR 的面积为 S 平方米．
(1)求 S 关于 θ的函数解析式；
(2)求 S 的取值范围．
1 x
21. （满分 12 分）已知函数 f (x) log 为奇函数. 2
ax 1
(1)求实数 a的值；
(2)若 x 1, ，判断并用定义证明函数 f (x) 的单调性；
x
1
(3)设 F (x) f (x) k ，且 F (x)在区间 3,4 上不存在零点，求实数 k 的取值范围.
2
4x 1 2a
22. （满分 12 分）已知函数 f (x) log4 , g(x) 4
x t 2x , h(x) log4 a 2
x 1
x .
2 3
(1)若对于 x1 R, x2 1,1 ，使得 f (x1) g(x2) 0成立，求实数 t 的取值范围；
(2)若 f (x) 与 h(x) 的图象有且仅有一个交点，求实数 a的取值范围.
{#{QQABSYAEggAAAhAAAQhCEwHICkCQkAEACAoGQAAAIAABSBFABAA=}#}
