2024年广东省深圳市中考数学模考练习卷（解析卷）
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，
如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作，
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，
“一带一路”地区覆盖总人口约为4800000000人，将4800000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：4800000000用科学记数法表示为．
故选：B．
某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，
并进行了统计，结果如表，则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（ ）
时间 1 2 3 4 5
人数 12 20 10 5 3
A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2
【答案】B
【分析】本题考查了求众数和中位数；
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：由表格知，阅读时间为2小时的有20人，人数最多，
所以这些学生阅读时间的众数是2；
因为共有人，
所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即，
故选：B．
5. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜3，
故选D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，故A不符合题意；
∵，故B不符合题意；
∵，故C不符合题意；
∵，故D符合题意；
故选：D．
7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，
且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，
设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
9 . 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，
若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．29 D．24
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△COD＝×12＝6，得到OD＝3，根据勾股定理得到OC＝＝5，根据菱形的性质得到OC＝OA＝5，则可求解菱形OABC的面积．
【详解】解：∵函数的图象经过点C，CD⊥x轴，
∴S△COD＝×12＝6．
∵CD＝4，
∴OD＝3．
∴由勾股定理得OC＝＝5．
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝5．
∴S菱形OABC＝OA CD＝5×4＝20．
故选：B．
10. 已知：中，是中线，点在上，且，．则 = （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵中，是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
，
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
13. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．
若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，
则此圆弧所在圆的半径为 厘米．
【答案】36
【分析】利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，
由题意，得，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为36厘米．
故答案为：36
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，
与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，
和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
15. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：
解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【分析】根据化简绝对值，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，
并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名；
(2) 在扇形统计图中，m的值为______；
(3) 学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．
已知“A等级”中有1名女生，请用画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】(1)20，5
(2)40
(3)
【分析】（1）利用样本容量=频数÷所占百分比计算即可，利用和为20计算度数即可．
（2）利用样本容量=频数÷所占百分比变式计算即可．
（3）画树状图计算即可．
【详解】（1）根据题意，得样本容量（名）；
成绩为“B等级”的学生人数有：（名），
故答案为：20，5．
（2）∵，
∴，
故答案为：40．
（3）设男生为，女生为，画树状图如下：
一共有6种等可能性，有女生的有4种等可能性，
所以出女生被选中的概率．
19. 为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．
已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，
购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
求两种足球的单价；
为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，
若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
【答案】(1)甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元
(2)16个
【分析】（1）设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，
由题意可得列出关于x的分式方程，进行求解即可；
（2）设至多购买乙种足球a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得：
解得，
经检验是原方程的解，
∴（元），
答：甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元．
（2）设至多购买乙种足球a个，由题意得：
∴
解得：
∵a为整数，
∴a最大值为16，
答：最多购买乙种足球16个．
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，
以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
【答案】（1）画图见解析，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
21. 如图，抛物线经过坐标原点与点，
正比例函数与抛物线交于点．
求该抛物线的函数表达式；
(2) 点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，
使得与以点、、为顶点的三角形相似？
若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)P点坐标为或．
【分析】（1）将，代入中，即可求出解析式；
（2）分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
22 . 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，
与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年广东省深圳市中考数学模考练习卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，
如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A． B． C． D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，
“一带一路”地区覆盖总人口约为4800000000人，将4800000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，
并进行了统计，结果如表，则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（ ）
时间 1 2 3 4 5
人数 12 20 10 5 3
A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2
5. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，
且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，
设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
9 . 如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，
若CD＝4，则菱形OABC的面积为（ ）
A．15 B．20 C．29 D．24
10. 已知：中，是中线，点在上，且，．则 = （ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式： ．
12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
13. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．
若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，
则此圆弧所在圆的半径为 厘米．
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，
与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
15. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16 . 计算：．
17. 先化简，再求值：，其中．
我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，
并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名；
(2) 在扇形统计图中，m的值为______；
(3) 学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．
已知“A等级”中有1名女生，请用画树状图的方法求出女生被选中的概率．
19. 为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．
已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，
购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
求两种足球的单价；
为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，
若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，
以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
21. 如图，抛物线经过坐标原点与点，
正比例函数与抛物线交于点．
求该抛物线的函数表达式；
(2) 点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，
使得与以点、、为顶点的三角形相似？
若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22 . 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，
与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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