山西省运城市盐湖区第五高级中学2024届高三上学期一轮复习成果检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若复数满足为纯虚数,则( )
A. B. C. D.3
3．已知平面向量,,且,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．白居易的《别毡帐火炉》写道:“赖有青毡帐,风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室,如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体,圆锥的高为4m,圆柱的高为3m,底面圆的直径为6m,则该毛帐的侧面积(单位)是( )
A. B. C. D.
5．若,则( )
A.0 B. C. D.
6．已知,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7．为了给学生树立正确的劳动观,使学生懂得劳动的伟大意义,某班从包含甲,乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动,在甲被选中的情况下,乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知函数给出下列结论:
①的周期为;
②时取最大值;
③的最小值是;
④在区间内单调递增;
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号题( )
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③
二、多项选择题
9．对于直线和直线,以下说法正确的有( )
A.直线一定过定点 B.若,则
C.的充要条件是 D.点到直线的距离的最大值为5
10．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德,牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如:,.则( )
A.,
B.不等式的解集为
C.当,的最小值为
D.方程的解集为
11．已知点,,动点P在上,则( )
A.直线MN与相离
B.线段PN的中点轨迹是一个圆
C.的面积最大值为
D.P在运动过程中,能且只能得到4个不同的
12．下列结论中正确的是( )
A.若幂函数的图象经过点,则
B.若函数的定义域为,则函数的定义域为
C.若,则,
D.若幂函数,则对任意,,都有
三、填空题
13．若二项展开式中所有二项系数的和等于32,则在的展开式中,的系数是______.
14．已知改良工艺前所排放废水中含有污染物数量为,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为,第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型(,),其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量,n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准,若该企业排放废水符合排放标准,则改良工艺次数最少要(参考数据:)______次.
15．如图,在三棱锥中,,,,点D在线段BC上,且,则直线AD与直线PC所成角的余弦值为__________.
16．已知抛物线,直线与抛物线交于A,D两点,与圆交于B,C两点(A,B在第一象限,则的最小值为______.
四、解答题
17．已知等比数列的公比,若,且,,分别是等差数列的第1,3,5项.
（1）求数列和的通项公式;
（2）记,求数列的前n项和.
18．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.
（1）求角A的大小;
（2）边BC上存在点M,使AM为的角平分线,若,求的周长.
19．某中学有A,B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务,王同学,张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐,近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下:
选择餐厅情况(午餐,晚餐)
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学,张老师选择餐厅相互独立,用频率估计概率.
（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率;
（2）记X为王同学,张老师在一天中就餐餐厅的个数,求X的分布列和数学期望;
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去A餐厅就餐”,,已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,证明..
20．如图1,山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图,将直角梯形ABEF沿底边AB翻折,得到图2所示的几何体.已知,,,点N在线段CE上,且在几何体中,解决下面问题.
（1）证明:平面BND;
（2）若平面平面ABCD,证明:.
21．已知点在双曲线上.
（1）已知点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点,证明:点Q到C的两条渐近线的距离之积为定值;
（2）已知点,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点H,满足,证明:点H恒在一条定直线上.
22．已知函数.
（1）若,求的单调区间与零点;
（2）若且恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析:,,
故,.
故选:C
2．答案：A
解析:是纯虚数,所以,
所以.
故选:.
3．答案：C
解析:由平面向量,可得,
由,可得,即,则,
所以.
故选:C.
4．答案：C
解析:圆锥的侧面积:,
圆柱的侧面积:,
所以毛帐的侧面积为,
故选:C.
5．答案：A
解析:依题,令,则,
,
所以
.
故选:A
6．答案：C
解析:由题知,,a,b均在0和1之间,
,于是,
当时,,所以.
当时,令,则,所以时,为减函数,
故,故,
所以,
,于是.
所以.
故选:C
7．答案：B
解析:令事件A为甲被选中,事件B为乙被选中,则,,
故.
故选:B.
8．答案：B
解析:因为
.
①因为,所以①正确;
②因为,所以②错误;
③当,即时,
取最小值,且最小值是,所以③正确;
④当时,由
知在区间内并不单调,故④错误;
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,
可得到函数,故⑤错误.
故正确的是①③.
故选:B.
9．答案：ABD
解析:对于A,变形为,
令,解得,因此直线一定过定点,A正确;
对于B,若,则,解得,B正确;
对于C,当与不相交时,,解得或,
当时,直线与平行,
当时,直线与平行,
因此当时,或,C错误;
对于D,直线恒过点,点到直线的距离的最大值为P,Q间距离,
而,D正确.
故选:ABD
10．答案：AB
解析:对选项A:设x的整数部分为a,小数部分为b,则,
的整数部分为,,故,正确;
对选项B:,则,故,正确;
对选项C:,
当且仅当,即时成立,不成立,故等号不成立,错误;
对选项D:取,则,满足方程成立,错误;
故选:AB
11．答案：ABD
解析:对于A:因为,,所以,
所以直线MN的方程,即,
由,得,
所以圆心,半径为3,
所以圆心到直线MN的距离为,
所以直线与圆相离,故A正确;
对于B:设线段PN的中点为,则,
因为点P在圆上,
所以,即表示一个圆,
所以线段PN的中点轨迹是一个圆,故B正确;
对于C:因为圆心到直线MN的距离为,,
所以的面积最大值为,故C错误;
对于D,①设与直线MN垂直且过点的直线为,
则,得,即直线为,
因为圆心到直线的距离为,
所以直线与圆有两个交点,
所以以M为直角顶点的直角三角形有2个;
②设与直线MN垂直且过点的直线为,
则,得,即直线为,
因为圆心到直线的距离为,
所以直线与圆相离,无公共点,
所以以为直角顶点的直角三角形不存在;
③以MN为直径的圆为,设圆心为D,则,半径为,
所以,
因为,
所以以MN为直径的圆与圆相交,
所以以P为直角顶点的直角三角形有2个;
综上,P在运动过程中,能且只能得到4个不同的,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：CD
解析:A:设,则,即,所以,解得,所以,错误;
B:因为函数的定义域为,对于函数,则,解得,即函数的定义域为,错误;
C:若,令,可得,
所以,,其中,
所以,,,正确;
D:对任意,,要证明不等式,
只需证明,即,
故只需证明,此不等式显然成立,正确.
故选:CD.
13．答案：
解析:因为的二项展开式中所有二项系数的和等于32,
所以,则,
则展开式的通项为(其中且),
令,解得,
所以展开式中的系数为.
故答案为:.
14．答案：11
解析:因为,,,
所以,解得,
所以,
由题意知,,即,
即,解得,
又,,
所以,,
所以要使该企业排放的污水符合排放标准,改良工艺次数最少要11次.
故答案为:11.
15．答案：或
解析:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
直线AD与直线PC所成角的余弦值为.
故答案为:.
16．答案：23
解析:因为抛物线M的方程为,所以抛物线M的焦点为,准线,
则直线过抛物线的焦点F,
当时,联立与可得,
所以,则;
当时,如图,
过A作轴于K,设抛物线的准线交y轴于E,
则,得,
则,同理可得,所以,
化圆N:为,则圆N的圆心为F,半径为1,
所以
,当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为23.
故答案:23
17．答案：（1）,
（2）
解析:（1）由题意得,,
,,解得(舍去)
则,解得,所以.
则,,,
设等差数列的公差为d,则,
所以.
（2）.
所以,
两式相减得,
.
18．答案：（1）
（2）
解析:（1）因为在中,,
所以,
所以由正弦定理得,
即,由余弦定理得,
因为,所以.
（2）因为,
且
所以,
由余弦定理得:,
整理得,
解得或(舍去),
所以,
所以的周长为.
19．答案：（1）0.6
（2）分布列见解析,1.9
（3）证明见解析
解析:（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”,
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为,
所以.
（2）记X为王同学,张老师在一天中就餐餐厅的个数,
则X的所有可能取值为1和2,
所以,
,
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望.
（3）由题知,所以
所以,
所以,
即,
所以,即
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析:（1）连接AC与BD相交于O,连接ON,
由于,且,
所以,
又,所以,
平面BND,平面BND,所以平面BND,
（2）过C作交BD于M,由于平面平面ABCD,且两平面交线为BD,平面ABCD,
所以平面BED,平面BED,故,
又四边形ABEF为直角梯形,故,
AB,CM是平面ABCD内的两相交直线,所以平面ABCD,
平面ABCD,故.
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析:（1）将代入双曲线中,,解得,故双曲线方程为,
设点Q的坐标为,则,即.
双曲线的两条渐近线,的方程分别为,,
则点Q到两条渐近线的距离分别为,,
则.
所以点Q到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值.
（2）若直线l斜率不存在,此时直线l与双曲线右支无交点,不合题意,不满足条件,
故直线l斜率存在,设直线方程,与联立得
,则,
因为恒成立,所以,故,
解得:,设,,
则,,
设点H的坐标为,则由得,,
变形得到,
将,代入,解得,
将代入中,解得,
则,
故点H恒在一条定直线上.
22．答案：（1）增区间,无减区间;有唯一零点
（2）
解析:（1）当时,,
因为,.
所以在上单调递增,
所以当时,,
所以有唯一零点.
（2）令,
则原不等式在恒成立,
①若,则,
先证明当时,.
事实上,令,,
因为当时,,
所以在上单调递增,
所以当时,,所以.
由,得.
因为当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
所以.
因此当时,,
令,
因为的图象是开口向下的抛物线,
所以存在,使得,从而,
,不合题意.
②若,则,
令,
(i)当时,,
(ii)当时,,
所以在上单调递增,所以当时,,
由(i)(ii)知当时,,满足题意,
综上,a的取值范围为.
