山东省日照市岚山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的方程有一个根是，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
3．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．中，的对边分别为，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（ ）
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上
B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点
C．当时，随的增大而增大
D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点
6．如图，的直径垂直于弦，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，当在边上时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
9．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长为（ ）．
A． B． C． D．
10．抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，顶点为．下列结论：①；②；③；④若是等腰直角三角形，则；⑤若是一元二次方程的两个根，则，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
13．利用电脑程序模拟频率估计概率，在如图所示的同心圆中，大圆的半径为，向大圆中（不含边界）随机投射个点，并统计落在小圆中（不含边界）的点数，经历大量试验，发现随机点落在小圆中的点数稳定在粒左右，则可估计圆环的面积为 ．
14．关于的方程的两根分别为，则的值为 ．
15．如图，边长为的正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点，则的值是 ．
16．如图，过原点的直线与轴正半轴的夹角为，圆心都在轴上的半圆，半圆，半圆，…，半圆分别与直线相切，且半径分别为…，，若，则 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为负数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数记为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数记为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在双曲线上的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．
(1)分别求出的值；
(2)不等式的解集为______；
(3)过点作轴的垂线，垂足为，连接，求的面积．
20．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标；
(2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的；
(3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点．
21．某小区有两栋在建居民楼，因施工底部不能直接到达．按照有关规定：两楼间距不小于前楼高度的1.2倍．为计算两楼间距，数学小组的同学在远处平台的点处测得高度为21米的前楼顶部点的仰角为，测得高度为38.5米的后楼顶部点的仰角为，平台高为9米，点与两栋楼的底部点在同一水平线上．根据以上信息解决问题：
(1)平台到前楼的距离长；
(2)计算两楼间距，并判断间距是否符合规定．
（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）
22．如图，的直径，和是它的两条切线，点是圆上一点，过点的直线与，分别相交于点，两点，连接并延长，交点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求长．
23．如图，在中，，，，分别为，的中点，将绕点逆时针方向旋转得到（如图），使直线恰好过点，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长；
(3)若将绕点逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值．
24．如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为何值时，四边形是正方形？
(3)保持时的矩形不动，将抛物线向右平移，平移后的抛物线与矩形边的交点分别是，直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．
【详解】解：∵方程有一个根是，
∴，解得，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据主视图的定义即可判断，解题的关键是正确理解左视图是从左面观察几何体得出的平面图形，注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．
【详解】左视图如图所示，
故选：．
4．A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、锐角三角函数，先根据勾股定理的逆定理判断出该三角形为直角三角形，再根据求解即可．
【详解】解：∵中，
∴，
∴是直角三角形，c为斜边，
∴，
故选：A
5．B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图，
A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意；
B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意；
C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意；
D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理和等边三角形的性质与判定，连接，，则 ，由，则，有，故是等边三角形，从而求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】连接，，
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：．
7．A
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和及等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到相等的角，通过角的运算来解决．
【详解】由旋转性质可知，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质求解判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
∵，，
∴点在第三象限内，点在第一象限内，
∴，则，
故选：．
9．D
【分析】本题考查了角平分线的画法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由作图可知，平分，由， ，可得，，再证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵， ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴长为，
故选：．
10．B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，进而可判断①；根据抛物线的对称性和点A、B坐标可判断②；根据时，函数值的符号可判断③；由等腰直角三角形的性质求得点D坐标，进而可求得a值可判断④；转化为抛物线与直线的交点问题可判断⑤，进而可得出答案．
【详解】解：由图象知，抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴的正半轴相交，
∴，即，，
∴，故①正确；
∵抛物线交轴于两点，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，故②正确；
∴，
由图象知，当时，，
故③错误；
∵点D为抛物线的顶点，
∴，
∵，是等腰直角三角形，
∴点D坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，故④错误；
∵是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线的交点坐标为，，
∵抛物线交轴于两点，
∴由图象得，，
故⑤正确，
综上，正确的有①②⑤，共3个，
故选：B
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：．
12．/
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设年到年农村网商的月平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率之比等于概率，等于圆的面积之比，计算即可，解题的关键是熟练掌握频率估计概率的应用．
【详解】解：设小圆的半径为，
∴，解得，
∴圆环的面积为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的加法运算，利用一元二次方程根和系数的关系先求出、的值，把算式转化为，代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程的两根分别为，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，设，则，，进而得到，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和反比例函数的图象及性质．
【详解】解：∵正方形边长为，
∴，则，，
∵点是的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查切线性质、锐角三角函数、图形类规律探究，关键是找到半径的变化规律．先根据题意，结合图形得到半径r的变化规律，进而求解即可．
【详解】解：过圆心作圆的垂线，如图，
∵半圆分别与直线相切，
∴，，，……，
∵，
∴，
∵，
∴由 得，
由得，
由得，
……
由此规律发现，第n个半圆的半径为，
∴，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
（）利用因式分解法求解即可；
（）利用公式法求解即可；
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
18．(1)；
(2)．
【分析】（）由概率公式即可得出结果；
（）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案；
此题考查了树状图法求概率、概率公式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，，中有个负数，
∴抽取的卡片上数字为负数的概率为；
（2）解：画树状图如下，
∵共有种等可能结果，其中点在双曲线上的结果有种，
∴点在双曲线上的概率为．
19．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、利用交点坐标求不等式的解集等知识，熟练掌握数形结合思想是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用图象，求得一次函数图象位于反比例函数图象的上方部分的点的横坐标的取值范围即可；
（3）利用坐标与图形性质求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入中，得；
将代入中，得，则，
∴，，
将代入中，得；
（2）解：由图象得，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：∵，，
∴，
∴的面积为．
20．(1)画图见解析，，，；
(2)画图见解析；
(3)画图见解析．
【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可；
（）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可；
（）连接，相交于点；
此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤．
【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接，
∴即为所求；
（2）如图，延长，，然后连接，
∴即为所求；
（3）如图，连接，相交于点，
∴点即为所求．
21．(1)52.2米
(2)两楼间距25.4米，符合规定
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．
（1）利用正切定义求得长即可；
（2）利用正切定义求得长，进而求得长，根据规定可作出判断．
【详解】（1）解：由题意，四边形、四边形是矩形，米，米，
∴米，，，
∴在中，，则（米），
答：平台到前楼的距离长为52.2米；
（2）解：在中，（米），
∴（米），
则两楼间距为米，
∵，
∴两楼间距符合规定．
22．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由是的直径，得到，由得到，进而得到，又由得到，可得到，由是的切线，即可求证；
（）连接，过点作于点，由切线长定理和切线的性质可得到，，四边形为矩形，进而得到，，设，可得到，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
23．(1)，理由见解析；
(2)的长为；
(3)的长为或．
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
（）由，得，证明，，再利用角度和差即可求解；
（）由旋转性质可知，的中点，再通过勾股定理得，，设，列出，然后求解即可；
（）分当直线恰好过点时当直线恰好过点时几种情况讨论即可．
【详解】（1），理由，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵恰好过点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴在中，由勾股定理得，
由旋转性质可知，的中点，
∴同上可得，，
由（），，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴；
（3）当直线恰好过点时，如图，
由（）得：，
当直线恰好过点时，如图，
同（）理，，
如图，
同（）理，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
解得：，（舍去），
∴，
综上的长为或．
24．(1)抛物线的解析式为；
(2)的值为；
(3)平移后的抛物线解析式．
【分析】（）由题意抛物线过，，待定系数法即可求解；
（）由抛物线的对称性可知，，则，由，四边形是正方形，得出，然后解方程即可；
（）连接，，交点为，当时，，，，，求出，又平移后的抛物线与矩形边、的交点分别是、，直线平分矩形的面积，，则平移后得到，从而是中位线，故抛物线向右平移个单位，即可求解；
此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平移变换的性质．
【详解】（1）∵抛物线过，，
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
（2）由抛物线的对称性可知，，
∴，
∵点的横坐标是，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
整理得：，解得：（舍去），，
∴的值为；
（3）连接，，交点为，
当时，，，，，
∴点，
∵平移后的抛物线与矩形边、的交点分别是、，直线平分矩形的面积，，
∴平移后得到，
∴中点对应点是，
∴是中位线，
∴，
∴抛物线向右平移个单位，
∴，
则平移后的抛物线解析式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
