2023~2024学年度第一学期期末考试九年级
数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效，
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是反比例函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．任意实数
5．如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
7．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，在矩形中，是上一点，，琵足为的面积为的面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．对于实数定义运算“*”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
10．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，有下列结论：
①；
②；
③方程的两个根是；
④
⑤对于任意实数，总有其中结论正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个A．5个
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若点与关于原点对称，则__________．
12．若点和点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为__________．（用“>”连接）
13．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，点，则关于的方程的解是__________．
14．如图，扇形的圆心角，将扇形沿方向平移得到扇形，此时点与点重合，经过点．若，则阴影部分的面积为__________．
15．如图，直线与轴、轴分别交于两点，的半径为2，将以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动，当移动时间__________秒时，直线恰好与圆相切．
三、解答题（本题共8小题，共计75分）
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
（1）直接写出点关于原点对称的点的坐标：__________．
（2）直接写出的面积：__________．
（3）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的．
（4）画出绕原点逆时针旋转后得到的．
17．（8分）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为1，得． 第一步
移项，得． 第二步
配方，得． 第三步
变形，得． 第四步
开方，得． 第五步
解得． 第六步
（1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是__________，其中“配方法”依据的一个数学公式是__________（填名称）．
（2）上述解题过程，从第__________步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
18．（8分）某中学开展“歌唱祖国红歌比赛”活动，七年级一班、二班都从：A．《歌唱祖国》、B．《我和我的祖国》、C．《唱支山歌给党听》、D．《保卫黄河》四首歌中任意选择一首作为参赛曲目．
（1）七年级一班恰好抽到歌曲的概率为__________．
（2）比赛规定：各班歌唱不同歌曲，一班先随机抽取一首歌曲，不放回；二班再从剩余的歌曲中随机抽取一首，请用画树状图或列表的方法求出两个班恰好抽到歌曲的概率．
19．（10分）如图，已知四边形是矩形，反比例函数和一次函数的图象交于点，且点分别在上．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）请判断反比例函数的图象是否经过矩形的中心，并说明理由．
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
20．（10分）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
21．（10分）某市在旧城改造和旅游升级中，想要打造体育生态公园，实现体育与环境的完美结合，为周边群众创造更加舒适的健身休闲环境．某体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场．如图，已知，，现计划用总长为的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在个篮球场开一个宽的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点．必须在线段上．
（1）设的长为，则__________（用含的代数式表示）．
（2）若围成的篮球场的面积为，求篮球场的宽的长．（围网及墙体所占面积忽略不计）
（3）篮球场的面积能否达到？请说明理由．
22．（10分）图（1）是一个拱形直拉桥，跨度为，将其简化为图（2）所示的图形，拱形最高点为．李想同学通过测量得知，拱形上点到桥面的距离，且．李想同学发现可以借助抛物线模型估算到桥面的距离．
图（1） 图（2）
请你用抛物线模型来解决下列问题．
（1）求点到桥面的距离．
（2）在距离桥端（点）的位置恰好有一根直拉钢索（直拉钢索垂直于桥面），请求出这根直拉钢索的长．
23．（11分）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，探究的位置关系．
图（1） 图（2） 备用图
【问题探究】
（1）如图（1），当时，直接写出的位置关系：__________．
（2）如图（2），当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点旋转，使三点恰好在同一直线上，请直接写出的长__________．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 ACCBB 6-10 ABDAB
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．2 12． 13． 14． 15．或
三、解答题（本题共8个小题，满分75分）
16.（1） （2）
（3）（4）如图
