山东省临沂市河东区2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标 D．与轴交点坐标
3．反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜2 C．m＜ D．m＞2
4．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）
A．至少有一个黑球 B．至少有一个白球 C．至少有两个黑球 D．至少有两个白球
5．下列一元二次方程中，能求出实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
7．如图，，分别切于点A，B，点C在上，若四边形为菱形，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
9．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
10．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的点上，相交于点，则的值为（）
A． B． C． D．
12．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题
13．有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
14．已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是 ．
15．如图，以点为位似中心，将缩小后得到，若，则与的面积比为 ．
16．如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请求出不等式的解集．
19．快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 8 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的______；______（填“”“”或“”）；
(2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
20．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
21．图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．
23．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形是中心对称图形，符合题意；
C选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
根据的图象与性质解答．
【详解】在中，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
∴选项A、B、C均不符合题意；
令，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1-2m的符号，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，
∴1-2m＜0，
∴m＞．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1-2m的符号是解答此题的关键．
4．A
【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可．
【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意，
故选∶A．
【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，有实数根，故本选项不符合题意；
B、，没有实数根，故本选项符合题意；
C、，没有实数根，故本选项符合题意；
D、，没有实数根，故本选项符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握是解答本题的关键；
根据根与系数的关系可得，再将所求式转化，代入数据计算即可．
【详解】是一元二次方程的两个实数根，
故选：B．
7．C
【分析】连接，根据菱形的性质得到，推出与是等边三角形，求得，根据切线的性质得到于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∴与是等边三角形，
∴，
∴，
∵，分别切于点A，B，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．D
【分析】根据三角形面积公式求出k的值即可．
【详解】∵△ABC的面积为6
∴
解得
故答案为：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的解析式、三角形面积公式是解题的关键．
9．D
【分析】依图：对角线为，俯视图是一个正方形，则边长为1．根据长方体体积计算公式即可解答．
【详解】俯视图为正方形，则可得出边长为1．依图根据长方体体积的计算公式可知：V=1×1×2=2．
故选D．
【点睛】本题的难度一般，主要是考查三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．
10．C
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
根据旋转得到，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求出．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
，
,
，
．
故选：C．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键；
根据勾股定理求出各个边的长度，求出和，解直角三角形求出即可．
【详解】解：过作于，
在中，，由勾股定理得：，
在中，，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
即，
解得：，
故选：A．
12．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知“两组对应角相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
【详解】解：由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故①正确；
由，，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明，故②正确；
由可得，再由，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故③正确；
由结合不能证明，故④错误；
故选D．
13．
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
14．且
【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义．
由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
∵方程是一元二次方程，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
15．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【详解】解：∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
16．
【分析】本题主要考查了阴影组合图形的面积．解决问题的关键是熟练掌握半圆的三等分点的性质，等边三角形的判断和性质，弧长公式，扇形面积公式，同底等高的两个三角形面积相等．
连接、和，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，推出是等边三角形，推出，得到，根据同底等高的两个三角形面积相等，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积，求解即可．
【详解】连接、、．设半圆的半径为r，
∵C，D是以为直径的半圆的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵弧的长为，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
【详解】（1）
或
故
（2）
18．(1)
(2)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图像求解即可
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴点的坐标为，
把点代入得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：联立得：，
解得：或，
∴点B的坐标为，
观察图象得：当或时，，
即不等式的解集为或．
19．(1)，；
(2)小刘应选择甲公司（答案不唯一），理由见解答过程；
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）根据中位数与方差的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
（3）根据题意求解即可．
【详解】（1）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10．
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8、8，
所以中位数．
，
，
故答案为：；
（2）小刘应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小刘应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
20．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理：
（1）连接，根据平分，，可得，从而得到，即可；
（2）设的半径为x，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵平分，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为x，则，
在中，，
∴，
解得：．
∴的半径为6．
21．
【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键．
先过点E作于点I，过点G作于点J，再求出，从而得出．可证，最后利用三角函数即可得出的长度．
【详解】解：如图，过点E作于点I，过点G作于点J．
，
，
，
,
，
，，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．
答：此时遮阳伞影子中的长度是米．
22．(1)；
(2)的最大值为， ．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，求出点C坐标，再求出，由二次函数的性质求最值，并得出点P坐标．
【详解】（1）解：把代入得：
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线解析式为，把代入得：
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
在中，令得，
，
，
，
，
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为 ．
的最大值为，此时点P的坐标是 ．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值．
23．（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
