河南省信阳市固始县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
5．如图，在和中，已知，再添加一个条件，如果仍不能证明成立，那么添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为
A． B．
C． D．
7．如图，在中， ，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，平分交于点E，D为的中点，连接，则的周长是（ ）
A．14 B．10 C．12 D．11
9．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
11．分解因式： ．
12．已知三角形的三边长分别是8、10、，则的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则点位于第 象限．
14．如图，将四边形去掉一个的角得到一个五边形，则 ．
15．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．．
(1)化简代数式M；
(2)请在以下四个数中：1，，2，，选择一个合适的数代入，求M的值．
17．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；
(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；
(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．
18．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E．
(1)若求的度数；
(2)若，求的度数．
19．如图，有一块长和宽分别为10和6的长方形纸片，将它的四角截去四个边长为的小正方形，然后将它折成一个无盖的长方体纸盒，解答下列问题：
(1)求这个无盖长方体纸盒的表面积（用含的代数式表示）．
(2)求这个无盖长方体纸盒的容积（用含的代数式表示并化简）．并求出当时，此时纸盒的容积．
20．如图，已知．
(1)用直尺和圆规作图，在边上作出一点P，使；
(2)连接，若，求的度数．
21．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证：
(1)．
(2)平分．
22．某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台．
(1)求型仪器单价分别是多少元；
(2)该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用．
23．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若a＝120°，且△ACF为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0即为分式有意义，据此即可作答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
则，
故选：D．
4．B
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
=a－1
故选：B．
【点睛】本题考查了同分母分式加减法的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据每个选项的条件以及五种判定方法进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，
∴，
∵，
∴，该选项不符合题意；
B、∵，，
∴无法证明成立，该选项符合题意；
C、∵，，
∴，该选项不符合题意；
D、∵，，
∴，该选项不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数改良后种植的亩数亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，
根据题意列方程为：．
故选．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．由题中可得，得出对应线段，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
则．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，中位线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质，先求出，再利用直角三角形斜边中线定理求出即可．
【详解】解：∵在中，，平分，
∴，
又∵D是中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长为．
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质．解决本题的关键是熟记翻折的性质．
【详解】解：，
理由：如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称
则在四边形中，，
因为把纸片沿折叠，
所以，
因为，
则，
∴可得．
故选：B．
10．D
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解．
【详解】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴；故①正确；
过P作于于于S，
∴，
∴平分，
∴，故②正确；
∵平分
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴，故④正确，
∵平行平分，
∴，
∴，
∵④所以，
∴⑤正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．综合性强，难度偏大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
11．
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
12．2＜x＜18
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：10 8＜x＜10＋8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．四
【分析】根据点与点关于轴对称，可得，，进一步求出点坐标，即可确定答案．
【详解】∵点与点关于轴对称，
∴，，
解得，，
∴点坐标为，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】此题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
14．
【分析】如图（见解析），根据三角形的外角性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
故答案为：．
．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
15．
【分析】先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可．
【详解】解：∵两个正方形边长分别为m，n，
∴阴影部分的面积为：
；
∵，
∴原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的乘法运算，完全平方公式的变形，熟练的利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解本题的关键．
16．(1)
(2)时，原式=12
【分析】（1）根据分式的除法运算法则求解即可；
（2）首先根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可．
【详解】（1）
；
（2）∵，
∴，，
∴当时，
．
【点睛】此题考查了分式的除法运算以及代数求值，分式有意义的条件等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17．(1)
(2)见解析，
(3)见解析
【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可．
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小．
【详解】（1）解：（1）与关于轴对称，，
点．
（2）解：如图，即为所求，．
（3）解：如图，点即为所标．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质即可得到；
（2）根据角平分线的定义得到．再由三角形外角的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵是的外角，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴．
∵是的外角，，
∴．
∴．
∵，
∴．
19．(1)
(2)，31.5
【分析】（1）根据题意易知，无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积；
（2）长方形纸盒的长为，宽为，高为，容积长宽高，再将代入即可．
【详解】（1）解：由题意可知，无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积，
，
∴这个无盖长方体纸盒的表面积为．
（2）长方形纸盒的长为，宽为，高为，
容积长宽高，
将代入，得：
答：容积为31.5．
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确表示纸盒的长，宽，高．
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）作的垂直平分线与的交点即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求解．
【详解】（1）解：如图：点P即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
（1）根据等角的余角相等，即可证明结论；
（2）证明，得到，再由，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论．
【详解】（1）证明：，
，
，，
又，
；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，即为中点
又，
∴垂直平分，
，
平分．
22．(1)每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元
(2)A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元
【分析】（1）设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据“用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台”列分式方程即可求解；
（2）设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意列不等式，求解即可.
【详解】（1）解：设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，
根据题意得，，
解得．
经检验，是原方程的解．
，
答：每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元；
（2）解：设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意得，
解得．
当时，总费用（元）．
答：A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元．
【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）△DEF为等边三角形．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案;
（3）证△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF为等边三角形．
【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∵，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∵，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形，理由如下：
由（2）知△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AF＝AC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AF，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠EAF，
∵BF＝AF，
∴△BDF≌△AEF（AAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
