海南省省直辖县级行政单位保亭黎族苗族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．从年月日召开的“青春风采”杭州亚运会志愿者主题新闻发布会上获悉，第十九届杭州亚运会共有万名赛会志愿者，其中包含了通用志愿者及语言、竞赛、礼仪、升旗手等专业志愿者．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机正在播放《新闻联播》 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个四边形，其内角和是
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
7．已知是一元二次方程的一个根，那么a的值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
8．兰兰计划周末在“七仙岭、呀诺达、槟榔谷”三个景点中随机选择一个地点游玩，则她选中“呀诺达”的概率是（ ）
A． B． C．1 D．0
9．如图，的半径是，，那么圆心到弦的距离是（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，将绕着点顺时针旋转，得，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，二次函数的图象与x轴相交于，B两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．点B的坐标为
C． D．当时，的值随值的增大而增大
二、填空题
13．因式分解：ax﹣ay= ．
14．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为 ．
15．二次函数 的最小值是 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交着⊙O于点D，连接OD，∠C=70°，则∠AOD的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)解一元二次方程：．
18．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
19．文明是一座城市的名片．某校积极组织师生参加全县“共创文明城市，巩固国家卫生县城”志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名志愿者只参加其中一项服务活动．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿服务的部分师生，将调查结果绘制了如下不完整的统计图．
(1)本次调查采用的调查方式为______（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查的师生共有______人，扇形统计图中n的值为______；
(3)已知参加交通劝导志愿者服务活动30名师生中，有10名教师和20名学生，若从这30名师生中随机抽取1名志愿者参加“共创文明城市，巩固国家卫生县城”主题演讲比赛活动，且每名志愿者被抽到的可能性相同，恰好抽到学生的概率是______；
(4)若该校共有师生3000名，请估计有______人参加“文明宣传”志愿者服务活动．
20．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
21．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．
(1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
(2)求证：；
(3)若，，求正方形的边长．
22．如图1，已知抛物线经过、、三点，抛物线的顶点为点D．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)连接、、，求四边形的面积；
(3)如图2，设点Q是该抛物线对称轴上的一个动点，连接，，，当周长最小时，求点Q的坐标和此时的周长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握“科学记数法表示为的形式，其中，为整数”是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法即可求解．
【详解】解：．
故选：D．
3．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、打开电视机正在播放《新闻联播》是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个四边形，其内角和是是必然事件，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，幂的乘方的性质对各选项进行判断即可求解．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方．理清指数的变化是解题的关键．
6．C
【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程，进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴；
故选A．
8．B
【分析】本题考查了概率公式，根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可．
【详解】解：供选择的地点有3种等可能的情况，她选中“呀诺达”的情况有1种，
选中“呀诺达”的概率为．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，作出弦心距，结合直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作
则由垂径定理得
又∵,
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】解：将绕着点顺时针旋转，得，，，
，
，
，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查将一般式化成顶点式，利用配方法，将其配成完全平方式，即可解题．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
C、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
D、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
故选：C．
13．a（x-y）.
【详解】试题分析：直接提公因式分解因式即可.ax-ay= a（x-y）.
考点：分解因式.
14．3π
【详解】解：l===3π．
故答案为3π．
15．
【分析】此题考查利用二次函数求最值，通过配方，把二次函数化成顶点式，根据二次函数的性质写出答案即可．
【详解】∵
∴二次函数的最小值是
故答案为．
16．40°．
【详解】试题分析：由AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，可得AB⊥AC，又由∠C=70°，可求得∠B=90°﹣∠C=20°，∴∠AOD=2∠B=40°．
故答案为40°．
【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
17．(1)0
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，二次根式的加减法、负整数指数幂、零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）先把二次根式化成最简二次根式，对负整数指数幂、零指数幂进行计算，然后再进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
，
，
．
18．、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设、两种型号的汽车进价为万元和万元，列出方程，即可．
【详解】设、两种型号的汽车进价为万元和万元，
∴，
解得：．
答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元．
19．(1)抽样调查
(2)300，40
(3)
(4)900
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、简单的概率计算、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键．
（1）根据调查方式的特点求解即可；
（2）用参加“清洁卫生”人数除以其所占的百分比可求解调查人数，再由参加“敬老服务”人数除以调查总人数可求得n值；
（3）用参加“交通劝导”中学生人数除以参加“交通劝导”总人数即可求得抽到学生的概率；
（4）用总人数乘以样本中参加“文明宣传”志愿者服务活动的百分比即可求解．
【详解】（1）解：本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：本次调查的师生共有（人），，
故答案为：300，40；
（3）解：从有10名教师和20名学生中随机抽取1名志愿者参加“共创文明城市，巩固国家卫生县城”主题演讲比赛活动，且每名志愿者被抽到的可能性相同，恰好抽到学生的概率是，
故答案为：；
（4）解：∵参加“文明宣传”志愿者服务活动人数为（人），
∴该校共有师生3000名，估计有人参加“文明宣传”志愿者服务活动．
20．(1)桥拱的半径为50米；
(2)水面上涨的高度为10米．
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可．
【详解】（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
21．(1)A，90
(2)证明见解析
(3)正方形的边长为
【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可；
（2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）解：在正方形中，，
又顺时针旋转一定角度后得到，
绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得：，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
，
，
由旋转的性质得：，
，
由（2）已证：，
，
又四边形是正方形，
，
则在中，，
即，
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
22．(1)
(2)9
(3)，
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、最短路径问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用坐标与图形性质和割补法求解面积即可；
（3）由于点关于轴对称的点为B，则连接交于点Q，连接，则当三点共线时，周长最小，利用两点坐标距离公式和待定系数法求得、以及直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标为，点坐标为，
解得，
故此抛物线的解析式为：；
（2）解：，
顶点的坐标为，对称轴为直线，设对称轴与轴交于点，
点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
；
（3）解：连接交于点Q，连接，
点与点关于对称轴对称，，
，
当三点共线时，周长最小，
，
，
，
周长最小值为；
设直线的表达式为，
点坐标为，点坐标为，
∴，解得，
直线的表达式为，
当时，，即点，
，的周长最小值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
