2023-2024学年山东省德州市平原县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列代数式中，属于分式的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点若，则点到的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.与点关于直线对称的点为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，，分别是，，上的点，且，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.以下说法正确的是( )
一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；
有两条边相等的两个直角三角形全等；
有一边相等的两个等边三角形全等；
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．
A. B. C. D.
9.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
11.小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为( )
A. 千米时 B. 千米时 C. 千米时 D. 千米时
12.如图，直角三角形纸片中，，为斜边的中点，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设，的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设，的中点为，第次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.已知多项式是完全平方式，则的值为______．
14.已知，，则______．
15.如图，，，，，，则 ______．
16.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则______
17.内部有一点，，点关于的对称点为，点关于的对称点为，若，则的周长为______．
18.在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点，已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、、，若点的坐标为，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
化简：
；
．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的解．
21.本小题分
计算题
已知一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数．
用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长等于，求另外两边长．
22.本小题分
如图，，，点在边上，，和相交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
23.本小题分
如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．
若，求的长；
判断的形状，并说明理由．
24.本小题分
甜酒是长乐美食一张名片，某超市推出两款经典甜酒，一款是色香味俱全的“富硒甜酒”，另一款是清香四溢的“糯米甜酒”已知坛“富硒甜酒”和坛“糯米甜酒”需元；坛“富硒甜酒”和坛“糯米甜酒”需元．
求“富硒甜酒”和“糯米甜酒”的单价；
糯米是两款美食必不可少的材料，该超市老板发现本月的每千克糯米价格比上个月涨了，同样花元买到的糯米数量比上个月少了千克，求本月糯米的价格．
25.本小题分
小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
【习题回顾】已知：如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点求证：；
【变式思考】如图，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
【探究延伸】如图，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点，若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据分式的定义
A.是整式，答案错误；
B.是整式，答案错误；
C.是分式，答案正确；
D.是根式，答案错误；
故选：．
判断分式的依据是看分母中含有字母，且分子分母都是整式才是整式，逐项判断，从而得出答案．
2.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系，知
A、，不能组成三角形，故A错误；
B、，不能组成三角形；故B错误；
C、，不能组成三角形；故C错误；
D、，能够组成三角形，故D正确．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形均不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】
【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
过作于，则角平分线上的点到角两边的距离相等，
，
，
故选：．
过作于，依据角平分线的的性质即可得到，可得结论．
本题主要考查了角平分线的的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】
【解析】解：点关于直线对称的点的坐标是．
故选：．
点与关于直线对称的点纵坐标不变，两点到的距离相等，据此可得其横坐标．
本题主要考查坐标与图形的变化，掌握关于轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．关于轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．关于直线对称，，，，关于直线对称，，，是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由“”可证≌，可得，，由外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8.【答案】
【解析】解：一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；根据、再用或可证得这两个直角三角形全等，此命题正确；
有两条边相等的两个直角三角形不一定全等；比如一直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一直角边和一斜边相等，则这两个直角三角形并不全等；原命题错误；
有一边相等的两个等边三角形全等，符合定理，此命题正确；
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，根据并不能证明三角形全等；故原命题错误；
故选：．
根据全等三角形的判定方法或者举出反例能证明原命题是错误的，分别判断各命题的正误即可．
本题考查了全等三角形的判定，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可．
【解答】
解：设较小的奇数为，较大的为，
根据题意得：，
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，符合题意．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：连接、，交于，连接、，
四边形是正方形，
，，即和关于对称，
，
即，此时的值最小，
所以此时周长的值最小，
正方形的边长为，点在边上，，
，，
由勾股定理得：，
的周长的最小值是，
故选：．
连接、，交于，此时的值最小，求出长，即可求出答案．
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的点的位置是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：千米时．故选D．
平均速度总路程总时间，根据公式列式化简即可．
总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
12.【答案】
【解析】解：直角三角形纸片中，，，
，
由题意得，，，，，，，
又，，
，
，
的长为，
故选：．
先写出、、、的长度，然后可发现规律推出的表达式，继而根据即可得出的表达式，也可得出的长．
此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．
13.【答案】或
【解析】解：是完全平方式，
，
解得：或．
故答案为：或．
完全平方式有两个是和，根据以上得出，求出即可．
本题考查的是完全平方式，熟知完全平方式有两个：和是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而把已知整体代入求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是中的平分线，是的外角的平分线，，，
，，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数．
本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17.【答案】
【解析】解：如图，
，关于对称，，关于对称，
，，，
，
是等边三角形，
，
的周长为．
故答案为：．
证明是等边三角形，可得结论．
本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】
【解析】解：根据题意得点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，
而，
所以点的坐标与点的坐标相同，为．
故答案为：．
利用点的终结点的定义分别写出点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，从而得到每次变换为一个循环，然后利用可判断点的坐标与点的坐标相同．
本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可得到答案；
原式根据单项式乘以多项式、积的乘方和幂的乘方运算法则计算后再合并即可．
本题主要考查了整式的除法和幂的运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：
，
由可得，
检验：当时，，
的解为，
当时，原式．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后解分式方程，再将分式方程的解代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：设这个多边形的边数为，根据题意
解得，，
答：这个多边形的边数为；
分两种情况考虑：
当底边长为，腰长为；
当腰长为，底边长为时，
因为，
所以这样的三角形不存在，
答：这个等腰三角形另两边的长分别是 ， ．
【解析】直接利用多边形内角和定理得出答案；
分两种情况考虑：当底边长为，当腰长为，得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及多边形内角与外角，正确分类讨论是解题关键．
22.【答案】解：证明：和相交于点，
．
在和中，
，．
又，
，
．
在和中，
，
≌．
≌，
，．
在中，
，，
，
．
【解析】根据全等三角形的判定即可判断≌；
由可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数．
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
23.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
；
是等边三角形，
理由：，，
，
在中，，
，，
是等边三角形．
【解析】先求出，再根据角平分的定义得出，再根据等角对等边得出，根据含度的直角三角形的性质即可得出答案；
根据三线合一得出，再根据含度的直角三角形的性质得出，进而可得出结论．
本题考查含度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】解：设“富硒甜酒”的单价为元，“糯米甜酒”的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：“富硒甜酒”的单价为元，“糯米甜酒”的单价为元；
设上个月糯米的价格为元千克，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：本月糯米的价格为元千克．
【解析】设“富硒甜酒”的单价为元，“糯米甜酒”的单价为元，由题意：坛“富硒甜酒”和坛“糯米甜酒”需元；坛“富硒甜酒”和坛“糯米甜酒”需元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设上个月糯米的价格为元千克，则本月糯米的价格为元千克，由题意：同样花元买到的糯米数量比上个月少了千克，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程．
25.【答案】证明：，是高，
，，
，
是角平分线，
，
，
；
解：，，
，
为的角平分线，
，
为边上的高，
，
，
又，，
；
证明：、、三点共线 、为角平分线，
，
又，
，
，，，
，
．
．
【解析】由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解；
由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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