2023-2024学年山东省德州市武城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于手机应用图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值( )
A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 不能确定
5.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要用、、三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要类卡片多少张( )
A. B. C. D.
7.将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是( )
A. B.
C. D.
8.已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是( )
A. B.
C. D.
9.某单位向一所希望小学赠送本课外书，现用、两种不同的包装箱进行包装，单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个；已知每个型包装箱比每个型包装箱可多装本课外书．若设每个型包装箱可以装书本，则根据题意列得方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图，三边的中线，，的公共点，若，则图中阴影部分面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
12.如图，是等边三角形，、分别为和的中点，在线段上，连接以为边作等边，的延长线交于，连接，则以下结论：；；；当在线段上不与点重合运动时，其中正确的结论个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.香包刺绣又称陇绣，是一项传统技艺绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积约为其中数据用科学记数法可表示为______．
14.若是完全平方式，则的值为______．
15.如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则______．
16.如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是______．
17.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是 写出一个即可．
18.如图，在中，以为底边在外作等腰，作的平分线分别交，于点，若，，的周长为，点是直线上的一个动点，则周长的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，点在边上，，，．
求证：≌；
若，求的度数．
22.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的；
的面积是______；
已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
23.本小题分
如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成正方形．
观察如图填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；
观察图，试猜想式子，，之间的等量关系，并证明你的结论；
根据中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，，求的值．
24.本小题分
为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了元，购买“文学类”图书花费了元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多本．
求这两种图书的单价分别是多少元？
学校决定再次购买这两种图书共本，且总费用不超过元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
25.本小题分
已知等边，为平面内一点，连接、、．
如图，若，求的度数；
如图，若点在外，，求证：；
如图，若点在内，，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、，长度是、、的线段能组成三角形，故A符合题意；
B、，长度是、、的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、，长度是、、的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，长度是、、的线段不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
运用同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式知识进行逐一计算、辨别．
此题考查了同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得：
，
所以如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值扩大为原来的倍．
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：．
分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比．
本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：边长为的正方形的面积为，
图形面积为，图形面积为，图形面积为，
则可知需要类卡片张，类卡片张，类卡片张．
故选：．
由题意知长为，宽也为的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选B
各项分解因式得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
点为的垂直平分线与的交点．
故选：．
利用题意得到，根据线段垂直平分线的性质得到点为的垂直平分线与的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，得：．
故选：．
关键描述语：单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个；可列等量关系为：所用型包装箱的数量所用型包装箱的数量，由此可得到所求的方程．
考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：包装箱的个数课外书的总本数每个包装箱装的课外书本数．
10.【答案】
【解析】解：的三条中线、，交于点，
，
，，
，
，，
，
故选：．
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分和三角形的重心定理，得出和的面积与的面积的关系便可求得结果．
本题查了三角形的面积，三角形的中线，知道三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，的面积的面积的面积，的面积的面积的面积是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可．
【解答】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
由方程的解为非负数，得到，且，
解得：且．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：是等边三角形，点是中点，
，故正确，
和是等边三角形，
，，
，
，
，故正确；
如图，连接，
、分别为和的中点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，故正确，
故选：．
由等边三角形的性质可得，可判断，由等边三角形的性质可求，由四边形内角和定理可得，可判断，由“”可证≌，可得，，可判断和，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
14.【答案】或
【解析】解：，
，
或．
故答案为：或．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
此题考查直角三角形的性质，折叠问题，三角形内角和定理，关键是根据折叠的性质得出，．
16.【答案】
【解析】解：过作于，
，
，
平分，
，
的面积是，
故答案为：．
过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．
本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
17.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查因式分解的应用，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
首先将原式分解因式，然后根据，，得密码可以是、、的任意组合即可．
【分析】
解：，
当，时，
，
，
密码可以是或等，答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
18.【答案】
【解析】解：是以为底边的等腰三角形，平分，
垂直平分，
点与点关于对称，
，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为，
，
周长的最小值为，
故答案为：．
根据点与点关于对称，即可得出，当点与点重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
20.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
21.【答案】证明：，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
解：≌，
，，
，
．
【解析】根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质得出，利用证明三角形全等即可；
根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明三角形全等解答．
22.【答案】解：如图，和为所作；
；
设点坐标为，
的面积为，
，
解得：或，
点坐标为或．
【解析】解：见答案；
的面积；
故答案为；
见答案．
先利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式．
23.【答案】
【解析】解：正方的边长为，阴影部分的正方形的边长为；
故答案为：，；
解：，
理由如下：
；
由，
，，
，
；
由，
，
，
，
又，
，
．
根据图形，正方的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差；
阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长方形是面积，由此解答即可；
先利用中的结论求的值，然后求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键．
24.【答案】解：设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，
依题意：，
解之得：．
经检验，是所列分程的根，且合实际，
所以．
答：科普类书单价为元本，文学类书单价为元本；
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，
依题意：，
解之得：．
因为是正整数，
所以．
答：最多可购“科普类”图书本．
【解析】首先设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，根据题意可得等量关系：元购买的科普类图书的本数用元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，根据“费用不超过元”列出不等式并解答．
此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程不等式，注意分式方程不要忘记检验．
25.【答案】解：是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
；
证明：延长至，使，连接，如图：
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
证明：延长至，使，连接，如图，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
【解析】根据等边三角形的性质及角的等量代换即可求解；
延长至，使，连接，根据等边三角形的判定及性质得和，再利用证得≌，进而可求证结论；
延长至，使，连接，，利用等边三角形的判定及性质得，，再利用证得≌，进而可求证结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
第1页，共1页
