2023-2024学年四川省泸州市纳溪区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.“购买张彩票，中奖”这个事件是( )
A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件
3.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如图，内接于，连结，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个圆 B. 在同圆中，同弧所对的圆周角相等
C. 平分弦的直线垂直于弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等
6.若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )
A. B. C. D.
7.下列常见的手机软件图标，其中是轴对称又是中心对称的是( )
A. B. C. D.
8.如图，内接于，，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
9.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞条鱼，如果在这条鱼中有条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为
( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
10.在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
11.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12.如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.抛物线的顶点坐标是______．
14.已知一个圆的半径为，则它的内接正六边形的边长为______．
15.若是方程的一个根，则的值为______．
16.为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点若，则线段的长为______．
三、计算题：本大题共3小题，共28分。
17.已知： 的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
若的长为，那么 的周长是多少？
18.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克元．物价部门规定其销售单价不高于每千克元，不低于每千克元．经市场调查发现：日销售量千克是销售单价元的一次函数，且当时，；时，在销售过程中，每天还要支付其他费用元．
求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
求该公司销售该原料日获利元与销售单价元之间的函数关系式．
当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
19.如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．
请证明：是的中点；
若，求的长．
四、解答题：本题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解方程：．
21.本小题分
解方程：．
22.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，在中，，且点的坐标为．
画出向左平移个单位后的，写出点的坐标；
画出绕点顺时针旋转后的，并写出点旋转到点时，的坐标．
23.本小题分
某同学报名参加学校秋季运动会，有以下个项目可供选择：径赛项目：、、分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．
该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；
该同学从个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率，利用列表法或树状图加以说明．
24.本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围及的最小整数值．
25.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且点在点的左侧．
若抛物线过点，求实数的值；
在的条件下在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据一元二次方程的定义：、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、当是常数，时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是次的整式方程，即可判断答案．
本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有个条件：整式方程，含有一个未知数，所含未知数的项的次数是次．
2.【答案】
【解析】解：购买张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此“购买张彩票，中奖”这个事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生可能性的大小进行判断即可．
本题考查事件发生的可能性，理解随机事件、必然事件、不可能事件，确定事件的意义是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式，即可判断．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，根据圆周角定理解答．
本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、同圆中，同弧所对的圆周角相等，正确；
C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，
故选B．
利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定答案．
本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大，熟记有关性质及定理是解答本类题目的关键．
6.【答案】
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，根据题意得，解得，
所以这个圆锥的底面半径长为．
故选：．
设这个圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程求出即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：．
本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
8.【答案】
【解析】解：连接，并延长交于点，连接，
，，
为的直径，，
，
，，
，
的半径．
故选D．
连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答．
此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
9.【答案】
【解析】解：，
条．
故选C
首先求出有记号的条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答．
10.【答案】
【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为，
，
整理得：，
故选：．
根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：风景画的长个纸边的宽度风景画的宽个纸边的宽度整个挂图的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为或，
故选：．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
是的直径，弦垂直平分半径，
，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系求出半径和圆心角度数，再根据进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理、直角三角形的边角关系以及扇形面积计算，掌握垂径定理，直角三角形出的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】
【解析】解：为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即它的内接六边形的边长为：．
故答案为：．
首先根据题意画出图形，六边形是正六边形，易得是等边三角形，又由圆的半径为，即可求得它的内接六边形的边长．
此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度不大，注意根据题意得到是等边三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
15.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理可得出，，故是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17.【答案】解：四边形是菱形，
，
，即，
整理得：，
解得，
当时，原方程为，
解得：，
故当时，四边形是菱形，这时菱形的边长是；
若的长为，把代入原方程得，
解得，
把代入原方程得，解得，，
的周长是：．
【解析】让根的判别式为即可求得，进而求得方程的根即为菱形的边长；
求得的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
本题综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
18.【答案】解：设，
则，
解得：，
则；
；
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当销售单价为元时，该公司日获利最大，最大获利是元．
【解析】利用待定系数法求解可得；
根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式；
将中所得函数解析式配方成顶点式后，再结合的取值范围，依据二次函数的性质求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式和待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．
19.【答案】证明：连接，如图
直径垂直于弦于点，
，
，
过圆心的线，
，即是的中垂线，
，
．
即：是等边三角形，
，
在中，，
，
点为的中点；
解：在中，，
，
又，
，
，
．
【解析】要证明：是的中点，只要求证，即证明即可．
在直角中，根据勾股定理就可以解得的长，进而求出的长．
解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
20.【答案】解：，
，
，
，
或，
，．
【解析】先把方程左边化为完全平方式的形式，再移项，利用平方差公式求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
21.【答案】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入得它的值不为，
故原分式方程的解为．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
22.【答案】解：
；
画图如图，的坐标为．
【解析】根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可；
根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可．点经过的路线是以点作为圆心，长为半径，圆心角是度的扇形的弧长．
本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是先确定图形的关键点；利用旋转性质作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
23.【答案】
【解析】解：该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率．
直接根据概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
24.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
的最小整数值是．
【解析】根据方程有两个不相等的实数根求出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
25.【答案】解：将代入抛物线解析式得：，
解得：；
由抛物线解析式，得对称轴为直线，
根据与关于抛物线对称轴直线对称，连接，与对称轴交于点，即为所求，
设直线解析式为，
将与代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
将代入得：，
则
【解析】将坐标代入抛物线解析式求出的值即可；
根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线，根据与关于对称轴对称，连接，与对称轴交于点，即为所求，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，确定出直线解析式，将代入直线解析式求出的值，即可确定出的坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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