2023年秋季义务教育阶段九年级学生学业水平监测
数学试题
说明：本试题满分150分，考试时间120分钟。考试结束时，将试题和答题卡一并交回。
注意事项：
①答题前，请你用0.5毫米的黑色墨迹签字笔把答题卡上学校、班级、姓名和考号填写清楚。
②第I卷（选择题）的答案请用统一要求的2B铅笔填涂在答题卡的相应位置，填在试题上的答案无效。如需改动，请用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案。
③第II卷（非选择题）的答案请用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的相应位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效。
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，请将符合题意的选项的字母填写在答题卡上。
1．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．科克曲线
2．关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．三角形中任意两边之和大于第三边 B．太阳从东方升起
C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．一个有理数的绝对值为负数
4．如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．图像开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大
6．如图，分别切于点，点是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如右图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如右图，与正六边形的边分别交于点，点为劣弧的中点．若，则的半径为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知二次函数，当时，的最小值为－4，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。把正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。
11．若把二次函数化为的形式，其中为常数，则______．
12．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关中的任意一个时，能够使小灯泡发光的概率为______．
第12题图
13．已知点为平面内一点，若点到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______．
14．一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则可以估算出的值为______．
15．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为______（结果保留）。
第15题图
16．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是______．
第16题图
三、解答题：（本大题共10个小题，共96分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（每小题4分，共8分）
解方程：（1） （2）
18．（本小题满分6分）
如图，在中，是直径，且交圆于，求证：．
19．（本小题满分8分）
已知关于的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）已知该方程的两个根为，且满足，求的值．
20．（本小题满分9分）
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点成中心对称，与的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点的位置；
（2）将绕点顺时针旋转后得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）
21．（本小题满分9分）
如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：；
（2）若，求弦的长．
22．（本小题满分10分）
目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．某校九年级某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出______，______；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A，B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两名同学最认可的新生事物不一样的概率．
23．（本小题满分10分）
为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为．
（1）若矩形地的面积为，求的长；
（2）当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？
24．（本小题满分10分）
如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是切线；
（2）若，求的半径和的长．
25．（本小题满分12分）
在中，，点为边上任意一点（与不重合），以为直角边构造等腰直角三角形为的中点．
（1）如图2，将绕点旋转，当点与重合时，求证：；
（2）如图3，将绕点旋转，当点在上且时，求证：．
图1 图2 图3
26．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
（3）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（备用图）
剑阁县2023年秋季九年级期末学业水平监测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．－2 12． 13．2或3 14．16 15． 16．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
17．（8分）
解：（1），，
，即，
，；
（2）
解：
，
，．
（其他方法算对也得分）
18．（6分）
证明：连接OE，，∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，
∵OC=OE，∴∠C=∠E，∴∠DOB=∠BOE，．
19．（8分）
（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程两个根为，
，，解得：．
20．（9分）
解：（1）如图，点O即为所求．
（2）由勾股定理得，．
线段FE在旋转过程中扫过的面积为．
21．（9分）
解：（1）为的直径．，，
∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∴∠BCO=∠ACD；
（2）∵AE=4，BE=16，∴OA=10，OE=6，
在Rt中，
∵AB⊥CD，∴CE=DE，∴CD=2CE=16，
答：弦的长为．
22．（10分）
解：（1）；
（2）补全图形如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为．
23．（10分）
解：设的长为，则的长为，根据题意得：，解得或，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，，
答：的长为；
（2）设矩形的面积为，则，
，，
，当时，有最大值，最大值为60，
当边为5时，矩形地的面积最大，最大面积是．
24．（10分）
解：（1）如图，连接，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，，是切线；
（2）如图，取中点，连接，于点．
四边形AEFO是矩形，
，．
在Rt中，，
在Rt中，，
，的长是
25．（12分）
证明：（1）如图2中，
图2
是等腰直角三角形，绕点旋转，当点E与F重合，
是等腰直角三角形，∴∠DBF=∠BFD=45°，BD=DF，
∵F为AD的中点，∴AF=DF，∴BD=AF，
∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠DBC=∠ABF+∠BAF=45°，∴∠BAF=∠DBC，
∵AB=BC，∴△ABF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF=∠BCD，∴∠BAE+∠BCD=45°；
（2）证明：如图3中，作于交于于．
图3
由（1）可知△CBM≌△BAN，∴BN=CM，AN=BM，
∵AB=AD，AN⊥BD，∴BN=DN，
∵ED⊥BD，∴，
∴∠GAF=∠FDE，BG=GE，∴DE=2GN，
在△AGF和△DEF中，∠GAF=∠FDE，∠AFG=∠DFE，AF=DF，
∴△AGF≌△DEF（AAS），∴AG=DE=BD，∴AN=3BN，BM=3CM，
∵BN=DN，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，
，，
，．
26．（14分）
解：（1）将代入，
得，解得，
二次函数的解析式为．
（2）如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，则，
，
当时，的面积最大，此时，点的坐标为（的面积的最大值为．
（3）存在．
如图，设点交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
解得（不合题意，舍去），
