扬州市邗江区梅苑双语学校2023-2024学年第一学期期末考试
九年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．要反映扬州市元旦以来每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布统计图
3．的直径，E在内，且，则过点E的所有弦中，最短弦长为（ ）
第3题图
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，则的值为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高方差会（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
6．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比，若点，则点的坐标为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线上移动，若点C、D、E的坐标分别为、、，点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（ ）
第7题图
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，C为平面内的动点，且满足，D为直线上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
第8题图
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值是______．
10．已知抛物线，则该抛物线的顶点坐标为______．
11．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有______个．
12．如图，的弦CD与直径AB相交，若，则______°．
第12题图
13．圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是______．
14．爱好数学的小梅同学发现大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（），如果AB的长度为10cm，那么较长线段AP的长度为______cm．
第14题图
15．有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为______cm．
第15题图
16．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为______．
第16题图
17．如图，AB为的直径，CD，EF是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则______．
第17题图
18．如图1，一张边长为a、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是______．
图1 图2
第18题图
三、解答题（共96分）
19．（本题满分8分）
（1）计算： （2）解方程：
20．（本题满分8分）直线与抛物线相交于点．
（1）求a，b的值；
（2）求另一个交点B的坐标；
（3）求的面积．
21．（本题满分8分）今年春节档多部贺岁片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军2》、《射雕英雄传：侠之大者》、《热辣滚烫》、《传说》四部电影中随机选择一部观看．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《志愿军2》的概率为______．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22．（本题满分8分）扬州中国大运河博物馆，简称“中运博”，集运河文物收藏、展示、研究、教育于一体，是扬州的又一张“国字号”名片．做为扬州的学生，对“中运博”的了解如何？现从某校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，调查结果分为四类：A类表示非常了解，B类表示比较了解，C类表示一般了解，D类表示不了解．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；请补全条形统计图．
（2）D类所对应扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校九年级学生共有1000名，根据以上抽样结果，请估计该校九年级对“中运博”非常了解的学生有______名．
23．（本题满分10分）如图，AB是为直径，点D是上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线与线段AC交于点E，且．
（1）猜想直线DE与的位置关系，并证明；
（2）若的半径是3，，求阴影部分的面积．
24．（本题满分10分）我运动，我健康．某鞋厂积极响应，投资生产一批运动鞋．2021年该类运动鞋的出厂价是200元/双，2022年，2023年连续两年改进技术，降低成本，2023年该类运动鞋的出厂价调整为162元/双．
（1）若这两年此类运动鞋的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2023年某商场从该鞋厂以出厂价购进若干件此类运动鞋（足够销售），以200元/双销售时，平均每天可销售20双．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10双，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
25．（本题满分10分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船．
（1）图中______°．
（2）求图中点A到捕鱼船航线BC的距离．
（3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
26．（本题满分10分）关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为8的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______°．
27．（本题满分12分）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱，自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
28．（本题满分12分）已知在矩形ABCD中，，．
图1 图2 图3
（1）如图1，点E为BC的中点，将沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设，求的大小（用含的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求的面积；
（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当是等腰三角形时，则______．
